2023 や 1231 のように 2 と 3 がこの順に連続して表れる 4 桁の正の整数(すなわち,1000 以上 9999 以下の整数)の総和を求めてください.
半角数字で解答してください.
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AB=20,CD=23,AD=12,BC=31 を満たす四角形 ABCD について,三角形 ABD の内心を I1 とし,三角形 BCD の内心を I2 とします. I1I2 と BD の交点を X とすると DX=1231 となったとき,BX の長さは互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
へこみのない四角形 ABCD の外側に正方形 ABFE,BCHG,CDJI,DALK を描いたところ,△ALE=16,△BFG=9,△CHI=36 となりました.このとき,△DJK の面積を求めて下さい.
下図において,黒線の図形は正十五角形であり,青線の長さは 8 ,緑線の長さは 6√5−2+2√6√5−√5 です. このとき,赤線の長さは,正整数 a,b,c,d,e,f,g (ただし,c,d,e,g は平方因子を持たない)を用いて a−b√c+(√d+√e)√f−√g と表せるので,積 abcdefg の値を解答してください.
余分な空白や改行を入れずに,半角数字のみを用いて解答してください.
お笑いコンビ「さや香」の新山くんは以下のような「見せ算」という演算「∗」を考案しました.
[見せ算の計算法] 0 以上 4 以下の整数 a,b に対し,a∗b={0 (a=bのとき)a (a>bのとき)b (a<bのとき)
とし,a∗b を「 a と b の『眼』」と呼ぶ.
0,1,2,3,4 を 6 個ずつ左右一列に並べて得られる M=30!(6!)5 通りの数列のうち,左に位置する 2 数を消し,その 2 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を 29 回繰り返した時,最後に 3 が残るような 30 個の数の並べ方の総数を N とします.このとき,NM は互いに素な正の整数 p,q を用いて qp と表せるので,p+q の値を解答してください.
8×8 のマス目に対し,上から 1 行目かつ左から 1 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き, 残りの 63 マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を 1 つずつ置きました. このとき,「行もしくは列を 1 つ選び,そこに置かれた 8 つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ,すべての駒が黒を表にして置かれました. このときの操作回数としてあり得る最小の値を m とおくとき,操作回数が m であって,最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください.
正の実数 a,b,c,d が {a+b4+c9+d16=2549a+64b+81c+100d=36 の 2 式を満たすとき,d の最小値は最大公約数が 1 の正の整数 p,q,r を用いて p−√qr と表されるので,p+q+r の値を解答してください.
5×5 のマス目の異なる 2 つのマスにナイトの駒を 1 つずつ置き,「ナイトの駒の動きに従って 2 つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ,2 つの駒が同じマスに止まりました. このとき,最初にナイトの駒を置いた 2 マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください.
円に内接する 8 角形 ABCDEFGH が ∠A=121∘,∠B=122∘,∠C=123∘,∠D=124∘,∠E=125∘,∠F=126∘ を満たすとき,∠G の大きさを度数法で解答してください.
三角形 ABC において,A,B,C から対辺に下ろした垂線の足を D,E,F とし,三角形 ABC の垂心を H としたところ,DE=9,DF=8,DH=7 となりました. このとき,AH の長さは互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表されるので,a+b の値を解答してください.
実数列 {an}n=1,2,⋯2024 が以下を満たしています. ・ a0=0 ・ 0≤an≤n+1 ・ a2024=2025
このとき, 2024∑n=1√an−12+an2−an−1an−2nan−1+nan+n2 には最小値が存在するため, 最小値を取るときの a1000 の値を求めて下さい. (a1000 の値は一意に定まります.)
答えは, 互いに素な正整数 a,b によって ba と表されるため, a+b の値を解答して下さい.
x,y,zは整数とする。また、pは素数とする。 x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2−8x2yz−8xy2z−8xyz2=pとなるとき、pの最小値を求めよ。また、pが最小値をとるとき、x,y,zの組を全て求めよ。
pの最小値をp=~の形式で1行目に、x,y,zの組を(x,y,z)=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。
実数 a,b,c,d が a2+b2+2bc+2cac2+2ab=b2+c2+2ca+2aba2+2bc=c2+a2+2ab+2bcb2+2ca=d を満たすとき,d の値として考えられるものの総和を求めてください.