解説
与式に $y = 0$ を代入することにより $$f \left( - f \left( 0 \right) \right) = f \left( x f \left( 0 \right) + 1 \right) - x$$ が成り立つから， $f$ は全射である．このとき，$f( s ) = 0$ を満たす実数 $s$ が存在し，与式に $y = s$ を代入して，$$f \left( s f( x ) \right) = f( 1 ) - x$$ が成り立つ．ここで $f( a ) = f( b )$ を満たす任意の実数 $a , b$ について，上の式に $x = a , b$ を代入したものを比較することで $a = b$ を得るから，$f$ は単射である．また $f$ の全射性より，$f( t ) = -1$ を満たす実数 $t$ が存在し，与式に $x = y = t$ を代入して $$f \left( - t + 1 \right) = f( - t + 1 ) - t$$ が成り立つから，$t = 0$ すなわち $f( 0 ) = -1$ を得る．このとき，与式に $x = 0$ を代入すると $$f \left( - y - f \left( y \right) \right) = f( 1 )$$ が成り立ち，$f$ の単射性より $-y - f (y) = 1$ すなわち $f( y ) = - y - 1$ を得る．逆に，任意の実数 $x$ について $f( x ) = - x - 1$ は条件を満たすから，これが解である．