解説
$y\ne0, 2x+y\ne0$ のもとで考えると，与えられた式から
$$
xy^{2}=2x+y\\
x(y^{2}-2)=y
$$
$y$ は整数で，$y^{2}-2\ne0$ だから，
$$
x=\frac{y}{y^{2}-2}
$$
$y=1$ のとき，$x=-1$ で，$y\ne0, 2x+y\ne0$ に適する。よって$(x,y)=(-1,1)$ は適。
$y=-1$ のとき，$x=1$ で，$y\ne0, 2x+y\ne0$ に適する。よって$(x,y)=(1,-1)$ は適。
$y\geqq2$ のとき，$y^{2}-2\geqq4-2=2>0, y>0$ だから，$x$ が整数であることより，$x\geqq1$。
$$
\frac{y}{y^{2}-2}\geqq1\\
y\geqq y^{2}-2\\
0\geqq y^{2}-y-2\\
0\geqq (y-2)(y+1)\\
-1\leqq y\leqq 2
$$
いま，$y\geqq2$を考えているから，$y=2$であり，このとき$x=1$で，$y\ne0, 2x+y\ne0$ に適する。よって $(x,y)=(1,2)$ は適。
$y\leqq -2$ のとき，$y^{2}-2\geqq4-2=2>0, y<0$ だから，$x$ が整数であることより，$x\leqq-1$。
$$
\frac{y}{y^{2}-2}\leqq-1\\
y \leqq -y^{2}+2\\
0\geqq y^{2}+y-2\\
0\geqq(y+2)(y-1)\\
-2\leqq y \leqq 1
$$
いま，$y\leqq-2$ のときを考えているから，$y=-2$ で，このとき $x=-1$ で，$y\ne0, 2x+y\ne0$ に適する。よって $(x,y)=(-1,-2)$ は適。
以上から求める組は
$$
(x,y)=(-1,-2)(-1,1)(1,-1)(1,2)
$$
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