非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします. $$ x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002} $$ の最大値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます.$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
半角数字で解答してください.
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$728^{(729^{730})} + 730^{(729^{728})}$ は $3$ で最大何回割れますか.
あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており,以下を $2022$ 回繰り返します.
このとき,最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください.ただし,求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため,$a+b$ を解答してください.
凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします. $$ \begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases} $$ このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.
$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して,スコアを $$ \sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k) $$ で定めます.$2024!$ 通りの並べ替えに対して,スコアとしてあり得る値はいくつありますか.
$$2^p+q^2=5r$$ を満たす $100$ 以下の素数の組 $(p,q,r)$ 全てにおいて,$pqr$ の総和を求めてください.
$\mathrm{AB=AC}$ の直角二等辺三角形 $\mathrm {ABC}$ がある。点 $\mathrm D$ を、直線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BC}$ が平行となるように取ったところ、$\mathrm{BD}=10,\mathrm{CD}=7$ であった。このとき $$\mathrm{AB}^4 + \mathrm{AD}^4 =\fbox{アイウエ}$$ である。ただし $\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。
ア〜エには、0から9までの数字が入る。 文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
AB=15, AC=24の鋭角三角形ABCがあり内心をI, 垂心をHとすると 4点BCHIは同じ円Γ上にあった.このとき円Γの半径の長さの2乗を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
次の和を $10$ 進小数で表し、小数第 $61$ 位から第 $70$ 位までを求めよ。 $$ \sum_{n=1}^{9}\frac{n(10^{2n+1}-1)}{9\cdot10^{n^2+2n}} $$
小数第 $61$ 位から第 $70$ 位まで ($10$ 桁の数) を、半角で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
赤いボールと青いボールがそれぞれ十分に入っている袋から $50$ 個のボールを取り出して一列に並べました.このとき,次の条件を満たす取り出し方において,取り出した青いボールの個数としてあり得る値の総和を求めてください. ・連続する $3$ 個のボールの少なくとも $1$ つは赤いボールである.
$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし,空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を $$S \cup T = U,S \cap U = \phi$$となるよう定めたところ,$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました.このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい.
たとえば, $$S = \{1, 2, ..., 9\},T = \{10, 11, 12\}$$であるなら,$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され,$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます.
半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい.
△ABCの内心をI,∠A内の傍心をJとすると以下が成立した. BI=7, CI=15, IJ=25 このときBCの長さを解答してください.
AB=36, AC=24の△ABCがあり線分ABを1:2に内分する点D, 線分ACを3:1に 内分する点EをとりBEとCDの交点をPとするとAP=14であった. このときBCの長さの2乗を解答してください.