OMC不採用問題1

問題文

$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり，その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります．
また，線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします．
$a,b$ の交点を $E$，$b,c$ の交点を $F$，$c,d$ の交点を $G$，$d,a$ の交点を $H$ とすると，$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり，四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました．
　そして，以下が成立しました：
$$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$
　このとき，$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たす三角形 $ABC$ において、外心を $O$、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ の中点を $N$、$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします。また、円 $DMN$ と $AD$ の交点を $X$、$MN$ について $X$ と対称な点を $Y$ とします。このとき四角形 $BCOY$ の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ があり，外心を $O$ とした時以下が成り立ちました．
$$
AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5
$$
この時，三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$\triangle ABC$の辺$AB$上に点$D$が，辺$AC$上に点$E$がそれぞれある．また，辺$BC$上に2点$P,Q$があり，4点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいる．
$\triangle BDP$の外接円の$B$における接線と，$\triangle CEQ$の外接円の$C$における接線とが点$F$で交わっている．
$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき，$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である．ただし，$a,b,c$はいずれも正の整数であり，$a,c$は互いに素である．また，根号の内部は十分簡単になっている．
$a+b+c$の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

下図で、六角形ABCDEFは正六角形、点L,H,G,I,K,Jは六角形ABCDEFの辺の中点です。赤い部分の面積が72㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

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誤りがあったため、解答を修正しました。迷惑をおかけして申し訳ありません。

問題文

次の方程式の整数解を求めよ。
ただし、$p, q$は非負整数である。
$$
x^2-15x+3^p-2^q=0
$$

解答形式

半角数字で小さい順につなげて入力してください。
例　$x=-4,-1,0,3,4$の時　-4-1034

問題文

問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 $DEH$ の面積を $9$ から $3$ に変更しました。)

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$, 外心を $O$ とします. また, 直線 $BH$ と線分 $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と線分 $AB$ の交点を $E$ とします. そして, 線分 $DE$ の中点を $N$, 直線 $HN$ と直線 $AO$ の交点を $X$ とします. このとき, $A, X, O$ はこの順に並び, $AX = 3, XO = 5$ が成立しました. また, 三角形 $DEH$ の面積が $3$ であったとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは, 正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt{a} + b$ と表されるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

【補助線主体の図形問題 #110】
　今週の図形問題です。このところ五心の活躍が多いですが、今回登場するのは重心と内心。この2点が平行線でつながっています。これらの図形が織りなす性質を楽しんでください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。

解答形式

∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB , AC$ （端点を除く）上にそれぞれ点 $P , Q$ があり，直線 $BC , PQ$ は，半直線 $BC$ 上の点 $R$ で交わっています．また，線分 $BC , PQ$ 上にそれぞれ点 $M , N$ があり， $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{PN}{NQ} = \dfrac{BR}{RC}$ を満たしています．いま，直線 $AN$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち，$A$ でない方を $X$ としたところ，$\angle MNR = \angle MXR = 90^{\circ}$，$\angle BXM = 63^{\circ}$ がそれぞれ成り立ちました．このとき，$\angle BAC$ の大きさを度数法で求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．