$AB=5, AC=7$の三角形$ABC$があり重心を$G$,内心を$I$とすると$BC //GI $であった. このとき三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
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三角形 $ABC$ があり,外心を $O$ とした時以下が成り立ちました. $$ AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5 $$ この時,三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください.ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角数字で入力してください.
$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$,辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし,$I_BI_C$ の中点を $M$ とする. $I_BI_C=14,BC=10$ のとき,$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください.
半角数字で解答してください
四角形 $ABCD$ があり,以下を満たしています:
$$ \angle B + \angle C = 120^{\circ} , \angle D = \angle B + 30^{\circ} , AB = CD = 7 , BC = 13 . $$
このとき,辺 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
半角数字で解答してください.
$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$,外心を $O$ とする.直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし,直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると,以下が成立した:
$$EI = 23 , IO = 18$$
このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.
下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。 $∠$FDEの大きさは何度ですか。
半角数字で入力してください。 例)10
直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き,$A$ を通る直線 $m$と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします. また,$\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$,直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします. $BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき,$\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると,$S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
中心が$O$の円と線分$AB$の二つの交点のうち$A$から近い順に$C,D$とすると $BO=11,CO=7,AC=CD=DB$ であった. このとき三角形$ABO$の面積の$2$乗を解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,外心を $O$ とし,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします. $OH=3,AH:HD=7:2$ であり,$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき,${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
( https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13) 三角形$ABC$において外接円,内接円,角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました.このとき$BC$の長さの二乗を求めてください.
答えを入力してください.
三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり,さらに,$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる.さらに,辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする. 三角形 $ADF$,四角形 $FGIH$,$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき,三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので,$a+b+c$ の値を解答してください.
$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり,それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると,$S$ の総積は $N$ である. $n$ および $N$ の値を求めよ.
一行目に $n$ の値を,二行目に $N$ の値を,それぞれ半角数字で解答してください.
直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.