$a$は$x$と独立であるとする。 $x$の方程式 $$(\cos^4x)^{\log_2(a\sin x)+1}=(a\sin2x)^{\log_2(a\sin2x)}$$ の$0\leqq x\leqq \frac\pi2$における解を$y$とする。 この時、以下の値を求めよ。 $$\int_0^1\frac1{\sin^2y}da$$
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次の値を小数第2位まで答えよ。 $$\int_0^1\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}2}dx$$ ただし必要ならば以下のリンクを使ってもよい。 https://ja.wikipedia.org/wiki/正規分布#正規分布表
$$\int^1_0\int^{\sqrt{1-z^2}}_0\sqrt{1-z^2-y^2}dydz$$
$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について,$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$,$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします.また,線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました.このとき,三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください.ただし,答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角整数値で解答してください.
$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。 極限値 $$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}} $$ を求めよ。
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください.(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
$(x,y)$を$x^2+y^2=1,x\geqq0,y\geqq0$を満たすようにとる。 $z=(x,y)\cdot(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})$としたとき、以下の値を求めよ。 $$\int_0^1zdx$$
数列${a_n}$を以下のように定義する。 $$ \begin{eqnarray} a_1&=&\int_0^1dx\\ a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx \end{eqnarray} $$ このとき、$\log_{10}(a_5)$の値を求めよ。
この問題には、必ず最初に解答をしてください。 解答はどんなものでも構いません。もし迷った際は、以下の文章をコピーペーストしても構いません。 「生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答えは42です」 最初に解答されなかった場合、以降の解答は無効となります。
$$\int^\sqrt2_{-\sqrt2}\sin x\cos x\{\tan x+\tan{(\frac{\pi}{2}-x)}\}dx$$
$$\int^2_0[2^x]dx$$ ただし[]はガウス記号
$$\int-\frac1{x^2}dx$$
四角形 $ABCD$ と三角形 $XYZ$ は以下の条件を満たします. $$AD=505, \hspace{1pc} BC=507, \hspace{1pc} AB=CD, \hspace{1pc} \angle ABC=60^\circ, \hspace{1pc} \angle DCB=80^\circ$$ $$YZ=1, \hspace{1pc} XY=XZ, \hspace{1pc} \angle YXZ=40^\circ$$ このとき, 四角形 $ABCD$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の何倍ですか.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記: 若干日本語がおかしかったため編集しました. 解答には影響はないと思われます. 一応ヒント2に元の問題文を残してあります. 以上, よろしくお願いします.
${}$ 西暦2025年問題第5弾です。今回は覆面算風味の整数問題です。けれども、独特な解き心地があります。単一解であるのを前提にして構いませんので、じっくりと味わってください。
${}$ 解答は指定の積をそのまま入力してください。 (例)105 → $\color{blue}{105}$