WMC(C)

問題文

$R_{a}をa$桁のレピュニット数とします.
$R_{24}$を素因数分解しなさい.
但しレピュニット数とは,各桁が全て$1$である数のことを指します.

解答形式

ある相異なる正整数$a_{1}…a_{10}$を用いて,
$R_{24}=a_{1} \times a_{2} \times … \times a_{10} $と書けるので,$a_{1}+…+a_{10}$の値を求め,その値を半角数字で入力して下さい.

問題文

聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした.

なお,$1$ から $13$ までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる.

ルールは以下の通り.
- 聖くんはトランプを $1$ 枚から$3$ 枚まで引くことができる.
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する.

光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「$31$ だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない？」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は $2$ になったよ」

光くんが引いたトランプの目として考えられるものを全て求めなさい。

解答形式

答えが1,2,4の場合は(1,2,4)と入力して下さい.(小さい順に)

問題文

整数$x,y$を用いて$131560x+133650y=z$と書ける正整数 $z$ のうち，最小のものを求めてください．

解答形式

半角数字で回答して下さい．

問題文

$6106$以下の正整数$N$について,以下のようにスコアを定める.
スコア:整数$a,b(a≦b)$の組で,$ab=N$を満たすようなものの個数.
スコア$＝2$となるような$N$は何通りありますか.
但し,以下に示す10000以下の素数表を用いてもいい.
http://allthingsuniverse.com/jp/prime/10000.html

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

SKG学院の文化祭では,1から10の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています.このダイス十個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました.
ここで以下のような事実が分かっています.
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について,番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします.

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす.

この十個のダイスを同時に一回振る時,出目の積の期待値を求めて下さい.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

問題文

今年でSKG学院の学園祭は第$66$回を迎えます.また今年度は $2025$ 年です.

さて、$0,2,5$ のみを用いた数式の内,答えが $66$ となるようなものを一つ求めてください.

但し,演算子（$+, -, \times$ など）は自由に用いて良いものとします.

一例:

$\left( (2 \times 0 \times 2 \times 5!) + (2 \times 0 \times 2 \times 5!) \right) \times \left( 2^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 \right) = (1+1) \times 33 = 66$

解答形式

式と答えを省略無しで入力して下さい.また,上の例とは違うものをお願いします.

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

次の虫食い算について,SUKEN=？

解答形式

半角数字で入力して下さい.
但しS≠E≠I≠K≠O≠U≠Nとします.

問題文

SKG学院では,5×5のマス目を使い,とあるゲームが行われている.
ゲームのルールは以下である.
・お客さんと生徒がじゃんけんをする.勝った方が先手,負けた方が後手となる.
この時,あいこは考えないものとする.
・先手は黒の碁石,後手は白の碁石を,マスの上に交互に置いていく.
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない.
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び,その個数を数える.
特別な辺：ある行の5マスを見た時,お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの.
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち,奇数であれば生徒の勝ちとなる.

お客さんが勝つ確率をA,お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数をBとする.
A×Bの値を求めなさい.
但し,回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

問題文

半径$66$の円に内接する正$66$角形の対角線(各辺も含む)の長さの$66$乗和を求めて下さい．
但しある長さの$𝑛$乗和とは，与えられた長さ$𝑃_1,𝑃_2…$について$𝑃_1^n + 𝑃_2^n …$を指します．

解答形式

答えは非常に大きくなる恐れがあるので,$2025$で割った余りを求めて下さい.

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,　0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。