整数

$
a!=b^{2}+2となる自然数a,整数bについて、
$
$
k(a,b)=a+bとおく。
$
$
k(a,b) の値として考えられるものは何個あるか。
$

$
f(x,n)=x^{2^{n＋1}}-x^{2^{n}}とおく。
$
$
f(a,b) と f(c,d) の最大公約数として
考えられるものの最小値を求めよ。
$
$
ただし、a,b,c,dはいずれも2以上の自然数で、a\neq b \neq c \neq d とする。
$

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

問題文

4x4のマス目を境界線で区切り、14分割する方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか

・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、
$\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
かつ、
　任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、
$\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個

解答形式

半角数字で解答してください.

$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。

解答形式

$n$の値を半角で入力してください。

$\text{n-テトロミノ}$とは、正方形を四つ、下のようにつなげた図形です。

orangekidくんはこの図形が大好きなので、下の図のような形をした画用紙からなるべく多くの$\text{n-テトロミノ}$を切り出したいです。

$\text{n-テトロミノ}$を裏返しの状態で切り出してもよいものとするとき、orangekidくんは最大何個の$\text{n-テトロミノ}$を切り出せるでしょうか。
「個」はつけずに、整数値のみで答えてください。

問題文

素数 $p$ を用いて表される整数 $p-4, p^2-6, p^3-26$ が全て素数となるような $p$ の総和を求めよ。

解答形式

算用数字で解答してください。

問題文

$a$を定数とする。
このとき、$x$についての方程式$|x²+6x-7|-a=0$ の実数解の個数が3個になるような$a$の値を求めよ。

解答形式

a=𓏸𓏸というふうに解答してください。
また、全て半角で解答してください。
答えのみ入力してください。

問題文

$1$ 以上 $100000$ 以下の整数から無作為に1つ選ぶとき,全ての桁の数がそれぞれ素数になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せます．$a+b$ を解答してください．

例えば，$23$ は各桁の数が $2$ と $3$ で，これは全ての桁の数が素数になります．
$17$ は各桁の数が $1$ と $7$ ですが，$1$ は素数ではないので全ての桁の数が素数にはなりません．

回答形式

非負整数を半角で回答してください。

問題文を一部変更しましたが答える内容は変わっていません。