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第2回琥珀杯 C

Kohaku 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年4月2日0:00 正解数: 10 / 解答数: 10 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「第2回琥珀杯」の問題です。

10nn998で割った余りが512となる最小の自然数nを求めよ。


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この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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交わらない2O1,O2は直線mに同じ側で接しており、その反対側に交わらない2O3,O4が直線mに接している。円Ox(x=1,2,3,4)の半径をx、直線mとの接点をPxとすると、点P1,P4,P2,P3がこの順に並んだ。P1P4=P2P3=5,P2P4=3のとき、四角形O1O2O3O4の面積を求めよ。

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問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)xを定義域とする関数f(x)を、xの循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。f(533)=15,f(43333)=12といった具合である。
正整数nに対して、n<m<20252025なる正整数mであって、nの値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
f(nm)=(m2)n
必要ならば、0.30102<log102<0.30103, 0.47712<log103<0.47713
を用いてよい。

第2回琥珀杯 B

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7

問題文

AB=1の正十二角形ABCDEFGHIJKLがある。KDCJAFDKAFDIDIEJAHEJAHCJの交点を、それぞれM,N,O,P,Q,Rとする。六角形MNOPQRの面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数a,b,c及び平方因子をもたない正整数dを用いて、bcdaと表せます。a+b+c+dを解答してください。

第2回琥珀杯 A

Kohaku 自動ジャッジ 難易度:
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4

問題文

C1:x2+(y6)2=2及び円C1x軸について対称な円C2をとる。さらに、2点(0,62),(0,6+2)を通りx軸に垂直で、原点を中心とする円C3をとり、円C2の中心を通りxy平面に垂直な直線をlとする。円C3を直線l周りに360°回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答形式

正整数a,c,eと平方因子をもたない正整数b,dを用いて(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^eと表せるので、a+b+c+d+eを解答してください。

整数問題

Ryomanic 自動ジャッジ 難易度:
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7

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許すとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。
(似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)

解答形式

互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため
p+qを解答してください。

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10

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

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23

問題文

SKG学院では,5×5のマス目を使い,とあるゲームが行われている.
ゲームのルールは以下である.
・お客さんと生徒がじゃんけんをする.勝った方が先手,負けた方が後手となる.
この時,あいこは考えないものとする.
・先手は黒の碁石,後手は白の碁石を,マスの上に交互に置いていく.
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない.
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び,その個数を数える.
特別な辺:ある行の5マスを見た時,お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの.
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち,奇数であれば生徒の勝ちとなる.

お客さんが勝つ確率をA,お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数をBとする.
A×Bの値を求めなさい.
但し,回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする.

解答形式

半角数字で入力して下さい.


98x^2+190x-312を因数分解せよ。

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問題文

SKG学院の文化祭では,1から10の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています.このダイス十個に1から10までの番号をつけることにしました.
ここで以下のような事実が分かっています.
また1≦n≦10を満たす任意の整数nについて,番号sがついたダイスを一回振ってnの目が出る確率をa_{n^s}と書くことにします.

a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^sを満たす.

この十個のダイスを同時に一回振る時,出目の積の期待値を求めて下さい.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

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14

問題文

聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした.

なお,1 から 13 までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる.

ルールは以下の通り.
- 聖くんはトランプを 1 枚から3 枚まで引くことができる.
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する.

光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「31 だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない?」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は 2 になったよ」

光くんが引いたトランプの目として考えられるものを全て求めなさい。

解答形式

答えが1,2,4の場合は(1,2,4)と入力して下さい.(小さい順に)

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13

問題文

垂心をHとする鋭角三角形ABCがあり、AB=9,AC=11,CH=7を満たしています。
△AHCの外接円をΓとし、直線BHΓの交点のうちHでない点をDとして、線分CDの中点をMとします。

線分HMと線分ACの交点をEとしたときの、DEの長さの2乗を求めてください。

解答形式

求める値は互いに素な整数a,bを用いて\dfrac{a}{b}と表されるので、a+bを解答してください。

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問題文

次の虫食い算について,SUKEN=?

解答形式

半角数字で入力して下さい.
但しS≠E≠I≠K≠O≠U≠Nとします.