holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました. 分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び,下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか.
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$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました.
このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると,互い素な正整数 $a,b$ を用いて, $$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$ と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください.
点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と,その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています.この正 $169$ 角形の頂点のうち,$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが,それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください.(総和の $2$ 乗ではないことに注意してください.)
等式 $$3kp-35p=q^2+2^p$$を満たすような素数 $p,q$ と正整数 $k$ の組 $(p,q,k)$ を考えます.$p+q+k$ として考えられる値のうち小さい方から $5$ つの総和を解答してください.
$1998^{2024}$の下$2$桁を求めよ。
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『猫又おかゆ』の目の前に左右 $1$ 列に $9$ 個のおにぎりが並んでいます.おにぎりの種類は鮭,うめ,おかかの $3$ 種類のうちいずれかです.並んでいるおにぎりについて,『猫又おかゆ』は次のことに気づきました.
『猫又おかゆ』の目の前にあるおにぎりの種類の並びとして考えられるものは何通りありますか.
$n$ を $3$ 以上の正整数とします.正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき,$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました.$n$ として考えられる最小の値を解答してください.
正 $12$ 面体の $20$ 個の頂点に,$20$ 個の数字 $$ 1\cdot 1!, \quad 2\cdot 2!, \dots \quad 20\cdot 20! $$ を配置します.この正 $12$ 面体の各面の正五角形に対し,その頂点に置かれた $5$ つの数字の総和を書き込みます.面に書き込まれた $12$ 個の数字の総和は配置の仕方によらず一意に定まるので,$S$ を $2024$ で割った余りを解答してください.
どの桁の数も $2$ 以下の非負整数であるような $14$ 桁の正の整数のうち,$7$ の倍数であるようなものの個数を答えてください.
十万,一万,千,百,十,一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし,十万,一万,千,百,十,一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします. 相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき,$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください.
半角数字で解答してください.
ある数$N$は$714$進法で$\underbrace{1818\dots1818}_{\text{1430個}}0$と表されます。$N$の素因数に含まれない最小の素数は何でしょう?
半角数字で入力してください。
$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし,空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を $$S \cup T = U,S \cap T = \phi$$となるよう定めたところ,$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました.このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい.
たとえば, $$S = \{1, 2, ..., 9\},T = \{10, 11, 12\}$$であるなら,$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され,$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます.
半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい.
四角形 $ABCD$ について,線分 $BD$ 上に点 $E$ を取ると,$AE=BD$ で,角 $EAD=$ 角 $AED=$ 角 $EBC=$ 角 $BCE=40°$ が成り立ちました.このとき角 $BDC$ は何度ですか?