PGC005 (D)

問題文

$AB=5, AC=7$ なる三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線と円 $ABC$ の交点を $D(\neq A)$，$BC$ の中点を $M$ とします．$\angle AMD=90^{\circ}$ であるとき，$BC$ の長さの四乗を求めてください．

問題文

$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．

問題

Weskdohn君は，次のゲームを行うことになりました.

正$733$角形のマークが書かれたカードW：$W_1W_2 \ldots W_{733}$から一枚選ぶ操作をOPE1と言い，これを$X$回繰り返します．
但し$X$について次の事実がわかっています．

正$3$角形のマークが書かれたカードS：$S_1S_2 S_3$と正$281$角形のマークが書かれたカードN：$N_1N_2 \ldots N_{281}$
について，それぞれ一枚ずつ取り出す操作をOPE2といい，OPE2を973回繰り返した場合の数を$X$通りとする．

ゲームで選んだカードWの組み合わせは$Y$通りと書けるので，$Y_{[9]}$の下三桁$n$を求めて下さい．

但し，異なる番号が振られた同じ種類のカード(例えば$E_d$と$E_h$)は互いに区別できるとし，また$O_{[K]}$は，$O$を$K$進法で書いた時の値とします．

解答形式

求めた値を,半角で入力して下さい．
ex)答えが6106→6106と入力．
また,001のような数値が答えの場合は、0をなくさず001のまま回答して下さい.

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について，重心を $G$，$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました．$AC$ の長さの二乗を求めてください．

問題文

$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり，それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると，$S$ の総積は $N$ である．
$n$ および $N$ の値を求めよ．

解答形式

一行目に $n$ の値を，二行目に $N$ の値を，それぞれ半角数字で解答してください．

問題文

正四面体ABCDを考える。正四面体の全ての面に接する内接球の中心を点O、∠AOB=θと定める。

θと108°のうちどちらの方が大きいか。

解答形式

θの方が大きい場合はA、108°の方が大きい場合はB、θ=108°の場合はCと半角入力してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

以下の条件をともに満たす $12$ 桁の正整数 $M$ はいくつありますか？

• $M$ を $3$ 桁ずつに区切って得られる $4$ つの正整数を左から $A,B,C,D$ として定めると，$\lvert A - B + C - D\rvert$ は $11$ の倍数かつ $13$ の倍数となる．
• $M$ を $4$ 桁ずつに区切って得られる $3$ つの自然数を左から $E,F,G$ として定めると，$\lvert E - F + G\rvert$ は $137$ の倍数となる．

ただし，$M,A,E$ の最高位の数字は $0$ でないものとします．

解答形式

条件を満たす $12$ 桁の正整数 $M$ の個数を，半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください．

問題文

正五角形 $ABCDE$ があり，その中心を $O$ とします．線分 $BO$ 上に点 $F$ を，線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり，三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると，以下が成立しました．

$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$

このとき，正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください．
ただし，正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします．

解答形式

答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください.

問題文

正方形 $ABCD$ の辺 $CD$ 上に点 $E$ をとり，直線 $AE$ と $BC$ の交点を $F$，$AE$ と $BD$ の交点を $G$ とすると，$AG:EF=1:2$ が成立しました．このとき，角 $AFB$ は何度ですか？ただし，解答すべき値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

角 $BAC=$ 角 $BCD=60°$ なる $AD\parallel BC$ の台形 $ABCD$ について，以下が成立しました．
$$ AC-AB=7 \mathrm{cm},\quad BC-CD=3 \mathrm{cm}$$
このとき $BC$ の長さは何 $\mathrm{cm}$ ですか？ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．