交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。
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純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。 正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 $$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$ 必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$ を用いてよい。
円$C_1:x^2+(y−\sqrt{6})^2=2$及び円$C_1$と$x$軸について対称な円$C_2$をとる。さらに、2点$(0,\sqrt{6}−\sqrt{2}),(0,−\sqrt{6}+\sqrt{2})$を通り$x$軸に垂直で、原点を中心とする円$C_3$をとり、円$C_2$の中心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする。円$C_3$を直線$l$周りに$360°$回転させてできる立体の体積を求めよ。
正整数$a,c,e$と平方因子をもたない正整数$b,d$を用いて$(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^e$と表せるので、$a+b+c+d+e$を解答してください。
$AB=1$の正十二角形$ABCDEFGHIJKL$がある。$KD$と$CJ$、$AF$と$DK$、$AF$と$DI$、$DI$と$EJ$、$AH$と$EJ$、$AH$と$CJ$の交点を、それぞれ$M,N,O,P,Q,R$とする。六角形$MNOPQR$の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b,c$及び平方因子をもたない正整数$d$を用いて、$\frac{b−c\sqrt{d}}{a}$と表せます。$a+b+c+d$を解答してください。
$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許さないとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。
互いに素な正整数q,pを用いて p/q と表せるため、p+qを解答してください。
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許すとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。 (似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)
互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため p+qを解答してください。
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり、$AB=9,AC=11,CH=7$を満たしています。 $△AHC$の外接円を$Γ$とし、直線$BH$と$Γ$の交点のうち$H$でない点を$D$として、線分$CD$の中点を$M$とします。
線分$HM$と線分$AC$の交点を$E$としたときの、$DE$の長さの$2$乗を求めてください。
求める値は互いに素な整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので、$a+b$を解答してください。
以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。 $$ x^{y}=y^{x-y} $$
半角数字で解答して下さい。
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。
a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。 (例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合 →1 2 3 4 5
$$ a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3) $$
$a_{10}$を求めなさい。
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。