OMCB030-C没案

問題文

次の方程式を満たす、素数 $p$ と正の整数 $n, m$ の組 $(p, n, m)$ を全て求めよ。
$$p^n + 144 = m^2$$

解答形式

条件を満たす組中の数字の総和を半角で入力してください

問題文

2つの正方形が図のように配置されています。赤と青の面積の差が$11$のとき、紫と橙の面積の差を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$とし直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点のうち$A$でないものを$M$, 直線$AM$と$BC$の交点を$D$，$A$から $BC$への垂線の足を$H$とすると$AD=4, BH=DM=2$であった. このとき$CD$の長さは正の整数$a,b$を用いて$\sqrt{a} -b$と表せるので，$a+b$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形$ABC$があり,また点$C$を通る点$B$で$AB$に接する円$O$がある.円$O$上でありかつ
三角形$ABC$の内部に$BD=CD$となる点$D$をとり$AC$と円$O$の交点のうち$C$でないものを$E$とおくと
$AB=15，BC=10，DE=16$であった.このとき$AC$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a,b$によって$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$の値を解答してください.
ただし点$A,C,E$は$ACE$の順に一直線上に並んでいるものとする．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$$a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3)$$

解答形式

$a_{10}$を求めなさい。

問題文

素因数分解したときの素因数の合計が22になるものを「キウイナンバー」とします。(例えば2025は素因数分解すると3×3×3×3×5×5になり、これを合計すると22になるので2025はキウイナンバーです。)
最大のキウイナンバーを求めてください。

解答形式

答えの数字をそのまま入力すればOKです。

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$，直線$AI$と$BC$の交点を$D$とすると$AI=CI=CD=6$であった. このとき$AC$の長さは正の整数$a,b$を用いて$\sqrt{a} +b$と表せるので, $a+b$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$1$ 以上 $15$ 以下の整数の組 $(a, b, c)$ であって
$$(2a + 2b + 2c - 33)^2 = (|2a - 9| + |2b - 11| + |2c - 13|)^2$$

をみたすものは全部でいくつありますか？

解答形式

半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

$\log_227$の整数部分を答えよ

問題文

鋭角三角形$ABC$があり外心を$O$とする．直線$BO$と$AC$の交点を$D$とおくと$BC＝BD，DO＝5，AD＝6$であったので$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。

解答形式

$n$の値を半角で入力してください。