OMC没問1

問題文

$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とします．直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき，以下が成立しました．$$AP=8,AH=7$$このとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

次の等式を満たすような $10000$ 以下の正整数の組 $(a,b,c)$ の個数を求めて下さい．

$$160a^2+153b^2+25c^2=24ab+96bc+72ac$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

$m,m'\geq1,n\geq0$を満たす任意の整数$m,m',n$に対し$,\ $$A(m,n)$は
$$
A(1,n) = \frac{1}{n!},\qquad A(m+m',n) = \sum_{k=0}^{n}A(m,k)A(m',n-k)
$$を満たす。$1 \leq m \leq 100,0 \leq n \leq 100$を満たし$,\ $かつ$A(m,n)$が整数であるような整数$m,n$について$,\ $積$m\times n$の総和を求めよ。

三角形ABCがある。初めに頂点ABCいずれかの頂点にランダムに駒を1つ置き、
操作nを繰り返し行うことで駒を移動させる。

$操作n:$$ カードがそれぞれn，n+1，n+2枚入った箱ABCを用意する。$$それぞれの箱にあたりの
カードが3，4，2枚入っている。$$
頂点Aにいる時は、まず箱BかCをランダムに選び、$$選んだ箱からカードを1枚引く。$$箱Bであたりを引くと頂点Aにそのまま、$$箱Cであたりを引くと頂点Bに、$$どちらの箱においてもハズレを引くと頂点Cに移動する。$$頂点Bにいる時は、箱Aからカードを1枚引き、$$あたりをひくと頂点Aに、$$ハズレだと頂点Cに移動する。
$$頂点Cにいるときは何もしない。$

$操作3→操作4→操作5→・・・→操作kを行った時(3 \leq k)頂点Aに駒がいる確率を求めよ。$

問題文

三角形 $ABC$ において，角 $A,B,C $の傍接円の半径をそれぞれ $r_A,r_B,r_C$ とし，内接円の半径を $r $とする．このとき，三角形 $ABC$ が以下の条件を満たすとき$r_A\cdot r_B\cdot r_C \cdot r$の最大値を求めよ.
$$BC=28,∠BAC=60 $$

解答形式

自然数となるので、その値を入力してください

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.

問題文

$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$, 最小公倍数を$l$とする。$504$の正の約数の個数を$n$としたとき、$g$の正の約数の個数は$\frac{n}{3}$、$l$の正の約数の個数は$\frac{9n}{2}$であった。$x$の素因数が$2,3,5,7$であるとき、$l$の値を求めよ。

解答形式

半角算用数字で答えてください。

問題文

三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．

解答形式

$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は採点できないので、解説を参照してください。）

備考

2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。

$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。

解答形式

$n$の値を半角で入力してください。

問題文

$\alpha^5-1=0$ を満たす複素数 $\alpha$ に対して関数 $f$ を $f(x)=\alpha x+1$ で定義したとき，
$f^{100}(1)$ としてありうる値の総和をすべて求めてください. ただし，$f^{100}(x)$ は $f$ を $100$ 回合成した関数とします.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

追記

ごめんなさい解答形式を書いてなかったです

問題文

図1は、あるへこみのない立体の展開図です。図1は合同な正方形2個、合同な菱型4個、合同な台形8個からなり、これを組み立てると2個の正方形1組がたがいに向かい合い、2個の台形4組がたがいに向かい合い、2個の菱形2組がたがいに向かい合います。また、図2は図1に使われている3種類の図形を、1目盛りが1cmの方眼用紙に描いたものです。図1を組み立ててできる立体の体積は何cm$^3$ですか。
　　　　　　　　　　　　　　図1

　　　　　　　　　　　　　　図2

解答形式

四捨五入して整数で答えてください。
例)$\frac{17}{4}cm^3$→4