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三角形 $ABC$ において，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ，$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました． このとき，$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
半角数字で解答してください．
$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，$BC$ の中点を $M$ とします．また，直線 $AB$ に $B$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_1$ ，直線 $AC$ に $C$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_2$ とし，直線 $AM$ と $\Gamma_1,\Gamma_2$ との交点のうち $M$ でない方をそれぞれ $D,E$ ，$DE$ の中点を $F$ ，$\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の交点を $G$ とした時，以下が成り立ちました． $$ AM:MG=3:1,\quad AC=24,\quad CF=10 $$ この時，$BC^2$ の値を求めてください．
例）半角数字で入力してください。
長方形$ABCD$がある．$BC$上に点$E$を，$CD$上に点$F$を以下の式が成り立つように取る．\ $\angle BAE=\angle CEF$，$\angle AFD=2\angle CEF$，$DF=2$，$CF=\sqrt{5}-2$が成り立つとき，$\angle DAF$の値を度数法で求めよ．
実数 $a,b,c,d$ が $\dfrac{a^2+b^2+2bc+2ca}{c^2+2ab}=\dfrac{b^2+c^2+2ca+2ab}{a^2+2bc}=\dfrac{c^2+a^2+2ab+2bc}{b^2+2ca}=d$ を満たすとき，$d$ の値として考えられるものの総和を求めてください．
実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned} 20x+12y=20 \\ 23x+31y=24 \end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$2023x+1231y$ の値を求めて下さい．
時刻a時b分について、100a+b.60a+bがどちらも平方数になるような時刻について、 abの総和を求めよ。 但し0時00分から23時59分までとする。
半角で解答して下さい。
$x$ の方程式 $x=1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{x}}}}}}}}$ の実数解の $2$ 乗和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ. $$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$
答えは正整数となるので、その値を解答してください
2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。
半角数字で解答してください。
正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています．このとき， $x+4y+9z$ の最小値を求めてください．
答えを入力してください．
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。 ただし、OとHが一致する場合は除きます。
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。 $\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。
鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$, 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$, $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.
答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.
