整数問題 解説あり

問題文

命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ

解答形式

真ならば真、偽ならば偽と入力

$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。

問題文

$n$を$2025$以下の正整数とする。
ある$n$について、$(n^{2}+n+1)(n^{3}+n^{2}-2n)$がもつ素因数$2$の個数を$d(n)$で表す。
$d(n)=1$となるような$n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$ $　次の等式をみたす正整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めて下さい．
$$x^3 + 2x^2y + x^2z + xy^2 + xyz = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$$

解答形式

半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

各位の和が $14$ であるような $2$ 番目に小さい正の整数を求めよ．

$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．

問題

$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。
$P(0)＝6$
$P(1)＝4$
のとき、$P(4)$の値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

$
a!=b^{2}+2となる自然数a,整数bについて、
$
$
k(a,b)=a+bとおく。
$
$
k(a,b) の値として考えられるものは何個あるか。
$

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

正の整数について定義され，$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり，任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて，$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき，$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ．