(10進法で)正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。 例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。 次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。 ・各桁の数の総和が10である。 ・どの桁にも0は使われていない。
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SKG学院では,5×5のマス目を使い,とあるゲームが行われている. ゲームのルールは以下である. ・お客さんと生徒がじゃんけんをする.勝った方が先手,負けた方が後手となる. この時,あいこは考えないものとする. ・先手は黒の碁石,後手は白の碁石を,マスの上に交互に置いていく. ・同じマスには碁石は一つまでしか置けない. ・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び,その個数を数える. 特別な辺:ある行の5マスを見た時,お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの. ・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち,奇数であれば生徒の勝ちとなる.
お客さんが勝つ確率をA,お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数をBとする. A×Bの値を求めなさい. 但し,回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする.
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$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。
$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP・PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ・QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.
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以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。 $$ 4a²+b²+c²=d² $$
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4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか? 但し、「ループの一部分である」とは、 全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。
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$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて, $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい.
$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$
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交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。
以下の2次方程式 $$ x^{2}-2ax+b=0 ― (*) $$ について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。 $a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 $b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート,全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。
$n$の値を半角で入力してください。
正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき, $$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$ の値を求めてください.
半角英数字で回答してください.
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許さないとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。
互いに素な正整数q,pを用いて p/q と表せるため、p+qを解答してください。
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許すとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。 (似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)
互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため p+qを解答してください。