階乗のシグマと合同式

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

問題文

へこみのない四角形 $ABCD$ の外側に正方形 $ABFE,BCHG,CDJI,DALK$ を描いたところ，$\triangle ALE=16,\triangle BFG=9,\triangle CHI=36$ となりました．このとき，$\triangle DJK$ の面積を求めて下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$(1)$　$1-\dfrac{2}{x}=\sqrt{2-\sqrt 3}$ のとき，$x^3=\dfrac{ax+b}{|x^2-20|}$ となる有理数 $a,b$ を求めよ．
$(2)$　$60|p-q\sqrt 3|\lt 1\leqq p-4\leqq 100$ を満たす整数 $p,q$ は存在するか．

解答形式

命題が真なら $|a+1|$，偽なら $|b+1|$ の値を半角数字で入力してください．

問題文

$AB=20,CD=23,AD=12,BC=31$ を満たす四角形 $ABCD$ について，三角形 $ABD$ の内心を $I_1$ とし，三角形 $BCD$ の内心を $I_2$ とします．
$I_1I_2$ と $BD$ の交点を $X$ とすると $DX=\dfrac{12}{31}$ となったとき，$BX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2023$ や $1231$ のように $2$ と $3$ がこの順に連続して表れる $4$ 桁の正の整数(すなわち，$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数)の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

お笑いコンビ「さや香」の新山くんは以下のような「見せ算」という演算「$*$」を考案しました．

[見せ算の計算法]
$0$ 以上 $4$ 以下の整数 $a,b$ に対し，$a*b=\Bigg{\{}\begin{aligned}
0\ (a=bのとき) \\
a\ (a>bのとき) \\
b\ (a<bのとき)
\end{aligned}$

とし，$a*b$ を「 $a$ と $b$ の『眼』」と呼ぶ．

$0,1,2,3,4$ を $6$ 個ずつ左右一列に並べて得られる $M=\dfrac{30!}{({6!})^5}$ 通りの数列のうち，左に位置する $2$ 数を消し，その $2$ 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を $29$ 回繰り返した時，最後に $3$ が残るような $30$ 個の数の並べ方の総数を $N$ とします．このとき，$\dfrac{N}{M}$ は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表せるので，$p+q$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。
極限値
$$
\lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}}
$$
を求めよ。

解答形式

電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください．(0.1234567...の場合0.12345と解答する)

備考

本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.

問題文

三角形 $ABC$ において，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ，$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました．
このとき，$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$(1)$　$4$ つの実数 $(10\pm\sqrt 2\pm 4\sqrt 3)^3+1$ の和と等しい整数の最大素因数を求めよ．
$(2)$　方程式 $(2x^2-x)(2x^2-7x+6)=7$ の実数解 $x$ に対する $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ の値を求めよ．

解答形式

$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き，「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ，$2$ つの駒が同じマスに止まりました．
このとき，最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．