KOTAKE杯005(A)

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり， $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし，重心を $G$ ，垂心を $H$ とする．このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD＝3,CD＝5$であったので， $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

問題文

三角形 $ABC$ があり， $ \angle ACB$ の二等分線と $AB$ の交点を $D$ とし，線分 $BC$ 上に点 $P$ ，線分 $AC$ 上に点 $Q$ をとると相異なる $4$ 点 $A,C,D,P$と$B,C,D,Q$ はそれぞれ共円であり $CP＝3,CQ＝4,AB＝15$ が成立した．このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$，円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$，円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．
直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると，$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき，$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

問題文

$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする．相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び，$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した．線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

問題文

$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について垂心を $H$ とし，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $BH$ ，直線 $CH$ の交点をそれぞれ $(D\neq B),E(\neq C)$ とする．半直線 $DE$ と直線$BC$の交点を$P$とすると，三角形 $AEH$ の外接円は直線 $HP$ に点 $H$ で接し， $PH＝3,AE＝4$ であった．このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

問題文

$∠A$が鋭角であり$AB＝AD，BC＝CD＝7，∠ABC＝∠CDA＝90°$を満たす四角形$ABCD$がある．線分$AB$，線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし，直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP＝24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり
$AB \cdot CH＝30，BC \cdot AH＝28，CA \cdot BH＝26$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB＜BC$なる鋭角三角形$ABC$があり，$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし，線分$BC$の中点を$M$とする．三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し，$DE＝6，MF＝8，CD＝15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=15，AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります．線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると，
$$DG＝BF,\quad AD＝9,\quad AF＝4$$
が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ なる三角形があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば，
$$AB＝BD,\quad AM＝3,\quad CD＝2$$
が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について，線分 $AC$ の中点を $M$ とし，内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り，三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする．$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき，線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．