PDC005 (B)

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．

$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．

正の整数について定義され，$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり，任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて，$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき，$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ．

各位の和が $14$ であるような $2$ 番目に小さい正の整数を求めよ．

問題文

$8$ つのアルファベット $\mathrm{I, M, L, I, M, R, I, M}$ を並べて得られる文字列であって，$\mathrm{L}$ が $\mathrm{R}$ より左にあるでかつ，$\mathrm{I}$ の右隣に $\mathrm{M}$ が来るものはいくつありますか．

問題文

（10進法で）正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。
例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。
次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。
・各桁の数の総和が10である。
・どの桁にも0は使われていない。

解答形式

半角整数で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB＝DC,AC＝AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

問題文

三角形 $ABC$ があり重心を $G$ とし，辺 $AB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします．辺 $BC$ 上に点 $P$ をとると $4$ 点$BMGP$ ，$4$ 点 $CNGP$ はそれぞれ共円であり，
$$BP=3,\quad CP=5$$
が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=15，AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります．線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$2^{2^{10}}$ を素数 $2027$ で割った余りを求めてください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AC$ 上に点 $D$ を，$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると，
$$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。

解答形式

∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。