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一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり，辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ＝QR$ の直角三角形になるようにとると，五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった．このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください．
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり，垂心を $H$ とします．直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば， $$BP＝HP＝15,\quad AH＝9$$ が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると， $$DG＝BF,\quad AD＝9,\quad AF＝4$$ が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
$AB<AC$ なる三角形があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば， $$AB＝BD,\quad AM＝3,\quad CD＝2$$ が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．
$AB=15，AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります．線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
三角形 $ABC$ があり重心を $G$ とし，辺 $AB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします．辺 $BC$ 上に点 $P$ をとると $4$ 点$BMGP$ ，$4$ 点 $CNGP$ はそれぞれ共円であり， $$BP=3,\quad CP=5$$ が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
三角形 $ABC$ があり，線分 $BC$ 上に点 $P$ をとる．三角形 $ABP$$,$ 三角形 $ACP$ の内心をそれぞれ $I,J$ とすると， $$IJ \parallel BC,\quad AB:AC=4:5,\quad BP=8,\quad CP=9$$ が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．
三角形 $ABC$ があり，内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し，以下が成立しました． $$BD=12,\quad BI=10$$ このとき線分 $AC$ の長さを解答してください．
$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり， $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，線分 $AH$ 上に $\angle ABP = \angle ACP$ を満たす点 $P$ をとります．また，線分 $BC$ と三角形 $ACP$ の外接円の交点のうち $C$ でないものを $D$ とし，直線 $BP,AD$ の交点を $E$ とすれば， $$BP=CD=5,\quad PE＝3$$ が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．
$\angle A$ が鈍角である内接四角形 $ABCD$ があり，三角形 $ABD$ の内接円と $AB,AD$ の接点をそれぞれ $P,Q$ とし，三角形 $BCD$ の内接円と $BC,CD$ の接点をそれぞれ $R,S$ とします．三角形 $ABD$ における $\angle A$ 内の傍接円と直線 $AB$ の接点を $T$ とすると，以下が成立しました． $$BT=BR,\quad PR=6,\quad QS=7,\quad BD＝9$$ このとき三角形 $BPR$ の面積の $2$ 乗を解答してください．
三角形 $ABC$ があり内心を $I$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とすると， $$AB:AC=3:5,\quad AI＝IM＝20$$ が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ があり，$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします．三角形 $ABC$ の外接円の，$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば， $$\angle APH=90^\circ ,\quad BH＝3,\quad CH=4,\quad AP＝10$$ が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
