任意の自然数$i$に対して、$z_i$は$z_i^6=1$を満たす複素数である。複素数$w$について、$w= \sum_{k=1}^{100}z_k$とするとき、$w$がとりうる値の個数を求めよ。
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以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ. ・すべての正整数 $n$ に対し,$a_n$ は $0$ 以上の整数である. ・すべての正整数 $n$ に対し,$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす. ・すべての正整数 $n$ に対し,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす.
半角数字で入力してください。
$p$ は $gcd(p, 10) = 1$ を満たす $p > 1$ の素数とする。 $\frac{1}{p}$ の小数表示における循環節を $C_1C_2...C_L$ とし、その長さを $L$ とする (すなわち $L = ord_p(10)$ である)。 循環節を構成する数字の並びから、以下の2つの整数を定義する。 1. $N_0 = C_1C_2...C_L$ (これを10進法の整数として評価した値) 2. $N_1 = C_2C_3...C_LC_1$ (同様に10進法の整数として評価した値) また、$C_1 = \lfloor \frac{10}{p} \rfloor$ (すなわち $\frac{1}{p}$ の小数第1位の数字) とする。
以下の2つの条件 (A) と (B) を同時に満たすような、全ての組 $(p, q)$ を求めよ。 (A) $N_1 = qN_0$ が成り立つ。ここで $q$ は $q \ge 2$ を満たす整数である。 (B) $L = q - C_1$ が成り立つ。
ある程度解答の方針を示した上で、 解を答えて下さい
$gcd(x,y,z)=1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。 (1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。 $x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。 (2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。
(1)は簡潔な証明 (2)は答えだけで構いません
$AB=1$の正十二角形$ABCDEFGHIJKL$がある。$KD$と$CJ$、$AF$と$DK$、$AF$と$DI$、$DI$と$EJ$、$AH$と$EJ$、$AH$と$CJ$の交点を、それぞれ$M,N,O,P,Q,R$とする。六角形$MNOPQR$の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b,c$及び平方因子をもたない正整数$d$を用いて、$\frac{b−c\sqrt{d}}{a}$と表せます。$a+b+c+d$を解答してください。
円$C_1:x^2+(y−\sqrt{6})^2=2$及び円$C_1$と$x$軸について対称な円$C_2$をとる。さらに、2点$(0,\sqrt{6}−\sqrt{2}),(0,−\sqrt{6}+\sqrt{2})$を通り$x$軸に垂直で、原点を中心とする円$C_3$をとり、円$C_2$の中心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする。円$C_3$を直線$l$周りに$360°$回転させてできる立体の体積を求めよ。
正整数$a,c,e$と平方因子をもたない正整数$b,d$を用いて$(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^e$と表せるので、$a+b+c+d+e$を解答してください。
$2025$ 以下の正整数 $n$ であって, $$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$ が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ.
交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。 正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 $$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$ 必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$ を用いてよい。
$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.
このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください. ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.
区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる(球が1つも入っていない箱があってもよい). $i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする. 入れ方すべてについて,積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し,その和を求めよ.
各桁の数字が $3,7,5,6,4$ のいずれかであるような正の整数をエグい数と呼ぶことにする。$5$ 桁のエグい数であって、$5^5$ の倍数であるものを $1$ つ求めよ。
なお、本問では $10$ 進法を用いている。
半角数字のみで1行目に入力せよ。 $10$ 進法で答えること。
$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ. $$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$
答えは正整数となるので、その値を解答してください