$\quad$ $BC=8$ なる三角形 $ABC$ において,内接円の半径は $2$ ,角 $A$ 内の傍接円の半径は $5$ であった.このとき,三角形 $ABC$ の面積を求めよ.
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので, $a+b$ を半角数字で解答してください.
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$\quad$三角形 $ABC$ において,内心を $I$ ,角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ,外心を $O$ とすると,直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった.線分 $BC$ の中点を $M$ ,線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし,三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると, $$KM=1,KG=3$$が成立した.このとき,線分 $BC$ の長さを求めよ.
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので, $a+b$ を半角数字で解答してください.
三角形$ABC$の内心を$I$ , 外心を$O$とします。 $AI=5$ , $AO=6$ , $AB+AC:BC=5:2$が成り立っている時、$cos\angle OAI$の値を求めてください。
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので、$a+b$の値を解答してください。
鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H$、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とすると、$2\angle BAD=\angle CAD,AC=11,DH=4$ であった。このとき、線分 $BC$ の長さを求めよ。
求める長さの二乗、$BC^2$ は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$ と表せるので、$p+q$ の値を求めてください。
三角形 $ABC$ について,重心を $G$ ,線分 $AB$ の中点を $M$ ,線分 $AC$ の中点を $N$ とし,直線 $AG,MN$ の交点を $P$ としたとき,四角形 $BGPM$ の面積が $2025$ となりました.三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.
$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。 この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。
半角数字で入力してください。
$314$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します.ルールは次の通りです.
なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は,次のように八百長をすることにしました.
このたけのこニョッキが成功するような,$313$ 人に対する正整数の与え方の場合の数が $2$ で最大何回割れるかを解答してください.ただし, $314$ 人の名付け方は固定されているものとします.
半角数字で解答してください.
以下のように点 $O$ を中心とする円周上に三角形 $ABC$ が内接しています。この円の内部に点 $D$ を取ると、$AB=BC=AO=4,\angle BAD=90°$ が成り立ち、さらに三角形 $AOD$ の面積は $3\sqrt{3}$ でした。このときの線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を求めてください。
解答は正の整数値になるので、その値を半角数字で解答してください
$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し,次のようにして整数を対応付けます.
例えば,文字列 $CAT$ は,$C$ が $3$ 番目,$A$ が $1$ 番目,$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります.このように,ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります. いま,ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました.元の文字列として考えられるものはいくつありますか?
答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.
$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって,上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか?
以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて,$m + n$ の総和を求めてください.
$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$
正整数で答えてください.
nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます.そして,以下の操作をできなくなるまで行います.
全ての操作が終了したとき,黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください.
$a,b$ を実数とする.$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている.$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ.