正方形$ABCD$について, 直線$BC$上に点$E$を点$B, C$と重ならないようにとり, 正方形$AEFG$を正方形$ABCD$と向きが同じになるようにとります. 線分$CF$の長さが$8$のとき, 正方形$ABCD$と正方形$AEFG$の面積の差として考えられる値の総和を求めてください.
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辺$AB$と辺$BC$と辺$CD$の長さが等しい凸四角形$ABCD$について, 辺$BC$と辺$AD$の中点をそれぞれ$M$, $N$としたところ, 以下が成り立ちました. $$ \angle BAD=75°, \angle CDA=45°, MN=3 $$
このとき, 四角形$ABCD$の面積は正整数$a, b$を用いて$a+\sqrt{b}$ と表すことができるので, $a+b$ の値を求めてください.
以下のように点 $O$ を中心とする円周上に三角形 $ABC$ が内接しています。この円の内部に点 $D$ を取ると、$AB=BC=AO=4,\angle BAD=90°$ が成り立ち、さらに三角形 $AOD$ の面積は $3\sqrt{3}$ でした。このときの線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を求めてください。
解答は正の整数値になるので、その値を半角数字で解答してください
鋭角三角形$ABC$について, 外接円を$Ω$, 垂心を$H$, 辺$BC$の中点を$M$, 点$H$から直線$AM$に下ろした垂線の足を$K$とします. 直線$BH, CH$と$Ω$の交点をそれぞれ$E(\neq B), F(\neq C)$とし, 線分$EF$の中点を$N$とします. さらに, 辺$AC$上(端点を除く)に点$P$をとると以下が成立しました. $$ \triangle FNP \backsim \triangle AMC, \angle PFA=\angle BAM, BK=5 $$
このとき, 線分$PE$の長さの二乗としてありうる値の総和を求めてください.
複素数$\alpha,\beta,\gamma$が $$\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=9\\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=25\\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=2025 \end{cases}$$ を満たしています。このとき、$f(x)=0$ が $\alpha,\beta,\gamma $を解に持ち、かつ最高次係数が $1$ であるような $3$ 次関数 $f(x)$ が一意に存在するので、$❘f(2)❘$ を求めてください。
解答は正の整数値になるので、その値を解答してください
$2025年9月25日$ のように、西暦、年、日が全て平方数であるような日をEMOい日とします。 $2025年9月25日$ の次のEMOい日は $a年b月c日$ です。$a+b+c$ を解答してください
半角数字で解答してください
一辺の長さが $4$ の正三角形を、以下のように一辺の長さが $1$ の小正三角形 $16$ 個に分割します。 東くんがこの小正三角形それぞれに $0,1,2$ のいずれか一つを書き込むと、辺を共有して隣り合う $2$ つの小正三角形に書かれた数の差(の絶対値)はすべて $1$ でした。 このように東くんが書き込む方法は何通りありますか?ただし裏返しや回転によって一致する書き込み方も区別します。
$n^9$ と $n^{25}$ の $1$ の位が等しいような $1$ 桁の正整数 $n$ を全て求め、それらの総和を解答してください。
$2025 \times 2025$ のマス目があり、右から $m$ 列目、上から $n$ 行目のマスを $(m,n)$ と表します。 いま、$(1,1)$ に東くんがおり、辺を共有するマスを通って最短距離で $(2025,2025)$ まで移動します。 このとき、以下を満たすような移動方法は $M$ 通りあります。$M$ は $2$ で何回割り切れますか?
$$i と j がともに偶数であるようなマス (i,j) を一つも通らない$$
一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について,線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり,$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする.$BE=14$ が成り立つとき,線分 $CF$ の長さを求めよ.
外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり,垂心を $H$ とします.直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば, $$BP=HP=15,\quad AH=9$$ が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり,辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ=QR$ の直角三角形になるようにとると,五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった.このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください.
相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の整数の組 ($A,E,M,S,T,U,Y$) が以下の覆面算を満たしています
$$\begin{array}{rr} & MATU \\ + & YAMA \\ \hline & EAST \end{array}$$ このとき、$EAST$ としてありうる値を見つけてください。
$EAST$ としてありうる値が$3$つ存在するので、それらの総和を解答してください。