幾何

問題文

三角形 $ABC$ において，角 $A,B,C $の傍接円の半径をそれぞれ $r_A,r_B,r_C$ とし，内接円の半径を $r $とする．このとき，三角形 $ABC$ が以下の条件を満たすとき$r_A\cdot r_B\cdot r_C \cdot r$の最大値を求めよ.
$$BC=28,∠BAC=60 $$

解答形式

自然数となるので、その値を入力してください

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$BD=3,\quad AC=10,\quad \angle ADO=90^\circ$$
が成立しました．このとき，線分 $AD$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

次の式を満たす相異なる正の整数$p，q$を全て求めよ。

$$p^{p+q}−q^{p+q}＝(pq)^p−(pq)^q$$

解答形式

$p＋q$の値をそれぞれの組で求め総和した値を半角で入力してください。

問題文

（10進法で）正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。
例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。
次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。
・各桁の数の総和が10である。
・どの桁にも0は使われていない。

解答形式

半角整数で入力してください。

問題文

$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

円 $\Omega$ に内接する三角形 $ABC$ があり，$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たしています．
　線分 $BC$ の中点を $M$，$A$ を通り直線 $BC$ と直交する直線と $\Omega$ との交点のうち $A$ でない方を $D$ とします．
　直線 $AM,DM$ と $\Omega$ との交点のうちそれぞれ $A,D$ でない方を $P,Q$ とし，直線 $BC$ と直線 $PQ$ との交点を $R$ とするとき，三角形 $MQR$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とします．直線 $AO,BC$ の交点を $D$，直線 $BO,AC$ の交点を $E$ とすると，
$$BD=6,\quad CD=3,\quad CE:EA=3:4$$
が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正三角形 $ABC$ があり，その内部に点 $D$ をとると，
$$AD=33,\quad BD=4,\quad \angle ADB=120^\circ$$
が成立しました．線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$，円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$，円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．
直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると，$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき，$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

三角形 $ABC$ の内心と外心をそれぞれ $I, O$ としたところ，$AI=AO$ が成り立ちました．三角形 $ABC$ の内接円，外接円の半径がそれぞれ $142, 857$ であるとき，$\angle{A}$ 内の傍接円の半径を求めてください．

解答形式

例）答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．