区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる(球が1つも入っていない箱があってもよい). $i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする. 入れ方すべてについて,積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し,その和を求めよ.
半角数字で入力してください。
Discordでログイン パスワードでログイン
ログインすると? ログインすると、解答・ギブアップをする他に、問題を投稿したり、ランキングで競うことができます。
または
ログインせずに解答する
この問題を解いた人はこんな問題も解いています
数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす. $a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき,$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ.
3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする. 全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。
格子点上を,点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ,点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む. このとき,2 本の経路が交差しない(頂点共有もしない)組の総数を求めよ.
例)半角数字で入力してください。
以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ. ・すべての正整数 $n$ に対し,$a_n$ は $0$ 以上の整数である. ・すべての正整数 $n$ に対し,$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす. ・すべての正整数 $n$ に対し,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす.
4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか? 但し、「ループの一部分である」とは、 全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。
正の整数 $m$ に対し, $$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$ と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.
$2025$ 以下の正整数 $n$ であって, $$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$ が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ.
設問8
正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。
$p$を$3$より大きい素数とする $S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$ を$p$で割った余りを求めよ。
解答は既約分数で表せるので、 1行目に分子、 2行目に分母 を半角で書いてください 分母は1になる場合も書いてください
各頂点の重みが $1$ または $2$ である根付き $2$ 分木で、各頂点の重みの総和が $n$ になるもののうち重みが $2$ である頂点の数が偶数個であるものの個数を $X_n$ ,奇数個であるものの個数を $Y_n$ とするとき $X_{100}-Y_{100}$ を求めてください。 ただし, 各頂点について右の辺の子と左の辺の子は区別するものとします.
4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。 地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。
$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ. $$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$
答えは正整数となるので、その値を解答してください