柏陽祭2025 (H)

正三角形$ABC, DEF$について, 三点$A, F, E$がこの順に同一直線上に並んでいます. また, 線分$AD$と線分$BE$の交点が存在したのでこれを$X$とすると三点$F, C, X$はこの順に同一直線上に並びました. 直線$BC$と直線$AE$の交点を$Y$としたとき, 以下が成立しました.
$$
\angle CAE=\angle BEA,　AD=AY,　DX=1
$$
このとき, 線分$AD$の長さの値の最小多項式を$f$とします. $f(5)$の値を求めてください.

最小多項式とは

$m$を根にもつ有理数係数多項式のうち, 次数が最小であり, かつ最高次の係数が$1$であるものを(このようなものは一意に存在します), $m$の最小多項式とよびます.

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME,　AE=25,　BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3,　AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

鋭角三角形$ABC$について, 外接円を$Ω$, 垂心を$H$, 辺$BC$の中点を$M$, 点$H$から直線$AM$に下ろした垂線の足を$K$とします. 直線$BH, CH$と$Ω$の交点をそれぞれ$E(\neq B), F(\neq C)$とし, 線分$EF$の中点を$N$とします. さらに, 辺$AC$上(端点を除く)に点$P$をとると以下が成立しました.
$$
\triangle FNP \backsim \triangle AMC,　\angle PFA=\angle BAM,　BK=5
$$

このとき, 線分$PE$の長さの二乗としてありうる値の総和を求めてください.

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。

問題文

$\displaystyle\frac{728^{3^m}+730^{3^n}}{3^{m+n}}$ が整数となるような正整数 $(m,n)$ の組すべてについて, $mn$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

互いに外接する3つの円 $J,K,L$ があり，$K$ と $L$ の接点を $\mathrm A$，$L$ と $K$ の接点を $\mathrm B$，$J$ と $K$ の接点を $\mathrm C$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ について，頂点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ の対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき，円 $J,K,L$ の半径を求めよ．

ただし，解答に際しては $a=17,\ b=13,\ c=14$ の場合の $J$ の半径の値を答えよ．
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

問題文

ある鋭角三角形ABCにおいてAから対辺への
垂線の足をD,ADの中点をM,△ABCの内心を
IとするとAC//MIである。
BD=1,CD=6のとき△ABCの面積を求めよ。

解答形式

ある程度シンプルな形で答えよ。

問題文

正方形 $ABCD$ があります．この対角線 $BD$ 上に点 $P$ を取ります．ただし，$BP<PD$ です．$P$ を中心とし$B$ を通る円と円 $APD$ が，直線 $BD$ に関し，点 $C$ と同じ側にある点 $Q$ で交わりました．
$AB = 13, BQ = 10$ が成り立つ時，$QC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

非負整数で入力してください．