同一平面上に $2$ 円 $\omega_{1},\omega_{2}$ があり、相異なる$2$ 点 $A,B$ で交わっています。$A$ における $\omega_{2}$ の接線を $l_{A}$ 、$B$ における $\omega_{1}$ の接線を$l_{B}$ とし、$l_{A}$ と $l_{B}$ の交点を $X$ とします。また、$l_{A}$ と $\omega_{1}$ の交点のうち、$A$ でない点を $C$、$l_{B}$ と $\omega_{2}$の交点のうち、$B$ でない点を $D$ とすると、$A,C,X$ はこの順に同一直線上にあり、以下が成立しました。
$$XB=9 BC=2 AD=5$$
このとき、線分 $BD$ の長さを求めてください。
なお、$\omega_{2}$ の半径の方が $\omega_{1}$ の半径より大きいことが保証されます。
$BD$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ を解答してください。
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