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$20\times26$のマス目のいずれかにおせちが置かれており，太郎君はおせちが置かれていないいずれかのマスから，通るマスの数が最小となるようにおせちまで移動します．
お年玉を太郎君が通ったマスの個数と定義するとき，
おせちと太郎君の初期位置すべてについて，お年玉の総和を求めてください．
ただし，最初のマスと最後のマスも通ったマスとみなします．

問題文

$2 \times 6$ のマス目があります．全てのマスそれぞれに $0,2,6$ のうち一つを選んで書き込みます．以下の条件を満たすような書き込み方は何通りありますか．
・どの辺を共有して隣り合う $2$ マスについてもそれらに書き込まれた数の和がある非負整数 $a$ を用いて $2^a$ と表せる．
ただし，回転・反転によって一致するものも区別します．

相異なる $1$ 桁の整数の組 $(A,K,E,O,M)$ について， $2026\times P=\overline{AKEOME}$ を満たす素数 $P$ の総和を求めてください．ただし，$A\neq 0$ であるものとします．

以下の操作を数字が$100$以下になるまで繰り返し行います．
・下$2$桁の数字を取り除き、残った数字にかける．
たとえば，$2108$は，$21×8=168$となります．
このとき、$2$回目の操作までに数字が$100$になる数を今年の数と呼ぶことにします．
今年の数のうち、2026は何番目に小さいですか？
ただし、100は今年の数に含まれないものとします.

問題文

ある正整数 $n$ が今年の数であるとは $n=a^b-(a-1)^b$ とあらわせるような正整数の組 $(a,b)$ が存在しない数であるとします.例えば$2026$は今年の数です.
このとき,$2026$以下の今年の数はいくつありますか.

$3$ 点 $A,B,C$ はこの順で一直線に並んでおり，$AC,AB,BC$ を直径とする円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ とし，点 $B$ を通る直線と $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ の交点を，$P,Q,B,R,S$ の順に並ぶように定めると，
$$AB<BC,\quad AB=\sqrt{390},\quad QB=18,\quad BR=24$$
が成り立ちました．このとき，互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $PB:BS=m:n$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．

問題文

全ての桁が偶数からなる正整数を今年の数とします．例えば $2026$ は今年の数です．
$2026$ 以下の今年の数は全部でいくつありますか．

問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_n$ は $0$ 以上の整数である．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす．
・すべての正整数 $n$ に対し，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$a + b + c = 999$ かつ $a \le b \le c$ を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ であって，
$2^a, 2^b, 2^c$ が非退化な三角形の三辺の長さとなるものは何通りありますか．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$n$進法でも$n+1$進法でも$3$桁の回文数になるような正の整数をn-今年の数と定義します．
たとえば，$2026$は$13$進法で$BCB_{(13)}$,$14$進法で$A4A_{(14)}$となるので13-今年の数です．
すべての7-今年の数について，その総和を求めてください．
ただし，$n$進法における$3$桁の回文数とはある正整数$X(1\le X\le n-1),Y(0\le X\le n-1)$を用いて$XYX_{(n)}$と表せる数のこととします．

問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします．
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので，$a+b$ を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

△ABCの内心をI、△ABCの外接円とAIの交点をL(≠A)、AB上にD(≠A,B)をとったとき以下が成立しました。$$LI=LD,AI=4,AD=5,BL=8$$DBの長さを解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。