ゲーム

以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$

$n$進法でも$n+1$進法でも$3$桁の回文数になるような正の整数をn-今年の数と定義します．
たとえば，$2026$は$13$進法で$BCB_{(13)}$,$14$進法で$A4A_{(14)}$となるので13-今年の数です．
すべての7-今年の数について，その総和を求めてください．
ただし，$n$進法における$3$桁の回文数とはある正整数$X(1\le X\le n-1),Y(0\le X\le n-1)$を用いて$XYX_{(n)}$と表せる数のこととします．

問題文

格子点上を，点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ，点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む．
このとき，2 本の経路が交差しない（頂点共有もしない）組の総数を求めよ．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

ab-3c-d^2 = e …①
3cd+d^2+e^2 = abd …②
a+8+2d = b …③
a+11+e = b+3 …④
を全て満たす自然数の組(a,b,c,d,e)のうち、a+b+c+d+eが最小となるようなものを求めよ。

解答形式

a+b+c+d+e の値を半角数字で

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

問題文

単位立方体の内部からランダムに点を $2$ つ選んだときの平均距離を答えてください.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a,b,c,d,e$ と互いに素な正の整数 $f,g$ と平方因子を持たない正の整数 $h,i,j,k$ と正の整数 $l,m,n$ を用いて
$$\frac{a+b\sqrt{h}-c\sqrt{i}-d\pi}{e}+\frac{\ln(l+\sqrt j)}{m}+\frac{f\ln(n+\sqrt k)}{g}$$
と表されるので, $a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n$ を解答してください.
ただし， $\ln x$ は $x$ の自然対数を表します．

注意

解説は用意していません

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$　
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

問題文

$x$ の方程式
$x=1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{x}}}}}}}}$
の実数解の $2$ 乗和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$ $　$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a, b, c, d$ に対し，数列 $(x_0, x_1, ..., x_{1110})$ を次のように定めます：

• $x_0 = a$ である．
• $(x_0, x_1, ..., x_{10})$ は公差 $b$ の等差数列をなす．
• $(x_{10}, x_{11}, ..., x_{110})$ は公差 $c$ の等差数列をなす．
• $(x_{110}, x_{111}, ..., x_{1110})$ は公差 $d$ の等差数列をなす．

$x_{1110}$ のとり得る値の総和を求めて下さい．

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

$2023$ や $1231$ のように $2$ と $3$ がこの順に連続して表れる $4$ 桁の正の整数(すなわち，$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数)の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．