ABC3(G)

問題文

三角形 $ABC$ について，その重心を $G$ としたところ，

$$AB^2-GB^2=20，AC^2-GC^2=26$$

が成立しました．このとき，線分 $AG$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を半角で解答してください．

問題文

$100$ 以下の正整数 $n$ であって，$4$ つの実数 $a,b,c,d$ が $4a+3b+2c+d=n$ を満たして動くとき，

$$a^2+b^2+c^2+d^2+a+2b+3c+4d$$

の取りうる最小値が整数となるものすべての総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2^{10}×3^7×5^4$ の正の約数 $440$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{440}$ とします．いま，これらの数が両面に $1$ つずつ書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつあり，すべて表向きに並べられています．$i=1,2,\dots,440$ に対して，$i$ 回目の操作を次のように定めます．

• $d_i$ の正の約数が書かれたカードをすべて裏返す．

$440$ 回操作を順に行ったとき，表向きであるカードは何枚ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$3$ 個以上の相異なる $300$ 以下の正整数からなる集合が次の条件を満たすとき，その要素数として考えられる最大の値を解答してください．

• どの相異なる $3$ 個の要素を選んでも，それらを $3$ 辺の長さとする(非退化な)三角形は存在しない．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

素数 $p,q,r$ と正整数 $n$ の組 $(p,q,r,n)$ であって，

$$p^n-4q^4=r^4$$

を満たすものすべてについて，$pqrn$ の値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB < AC$ をみたし，$\angle B$ が鋭角であるような三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ をとり，線分 $AD$ の中点を $E$ とすると，$AB = AD , \angle AEB = 2\angle ACB$ が成立した．また $\angle AEB$ の二等分線と線分 $AC$ は $C$ でない点 $F$ で交わり，$CD = 2 , EF = \sqrt{3}$ が成立した．このとき線分 $BD$ の長さは，平方因子を持たない正整数 $a$ と正整数 $b , c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} + b}{c}$ と表されるので，積 $abc$ を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします．三角形 $ABC$ の外接円の，$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば，
$$\angle APH=90^\circ ,\quad BH＝3,\quad CH=4,\quad AP＝10$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=32，\angle ABC=30^\circ$ なるひし形 $ABCD$ について，その内接円と辺 $AB,BC,CD,DA$ との接点をそれぞれ $E,F,G,H$ とします．四角形 $EFGH$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．