RS杯 12

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $AO$ と $BC$ の交点を $D$ とし，三角形 $BDH$ の外接円と線分 $AB$ の交点のうち $A$ でないものを $E$ とすると以下が成立しました．
$$AE=78,\quad BE=13,\quad \angle AED=90°$$
このとき線分 $BH$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，とする．直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし，辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする．直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$，直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし，三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると，以下が成立した．

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき，$AB$ の長さを求めてください．

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので，$a + b + c$ を答えてください．

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

$AB<AC<BC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，点 $C$ から $\angle BAC$ の二等分線に下ろした垂線の足を $D$ とします．$BC$ 上に2点 $P,Q$ を取ると，$4$ 点 $APQD$ は半径が $\sqrt{66}$ の同一円周上にあり，以下が成り立ちました．
$$AB=BQ，AC=CP，PQ=12$$
この時，三角形 $ADC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$\triangle{ABC}$ は $AB=AC,∠{BAC}=40°$ を満たす。線分$BC$の中点$M$と$\triangle{ABC}$の内部の点$P$について、直線$AM$に関して直線$PM$を対称移動させた直線を$m$、$m$と直線$AP$の交点を$Q$とすると、$PB＞PC,∠BPC=110°,∠AQM=15°$を満たしました。このとき、$∠PBC$の大きさを度数法で求めてください。ただし、答えは互いに素な正の整数$a,b$を用いて$(\dfrac{a}{b})°$と表されるので、$a+b$ を解答してください。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ポロロッカ王国には$10$個のサッカーチームがあります．各チームにはレートと呼ばれる$0$以上$10$以下の整数が定まっており，レートの異なる$2$チームの試合では，必ずレートの大きい方が勝ちます．レートは秘密にされており，国民は知ることができません．
あるとき，これら$10$個のチームで総当たり戦（全$45$試合）が行われ，引き分けはありませんでした．ポロロッカ王国民であるAさんが，この総当たり戦の結果から各チームのレートを推測しようとしたところ，あり得るパターンは$N$種類存在しました．$N$として考えられる値の合計を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました．
$$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$
このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$a^n+b^m=2024(a>b>0,n>1,m>1)$である自然数の組$(a,b,n,m)$をすべて求めよ。

解答形式

解答と解答を改行区切りで入力してください。

2023/11/8追記

(a,b,n,m)
という形で解答をしてください。
複数ある場合は前述の通り改行区切りで入力してください。
また、aが小さい順に、aが同じ場合はbが小さい順に解答してください。

2023/11/24追記

こちらのミスで自動判定の解答が指定した回答形式とあっていませんでした。すみませんでした。

問題文

$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP･PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ･QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

$1$つの整数が書かれた$15$枚のタイルが横$1$列に敷き詰められています。以下の条件を満たす数字の書き方は何通りあるか答えてください。

・タイルには$36$の正の約数のうちいずれかが書かれている。
・任意の隣り合う$2$枚のタイルに書かれた数の積は平方数でない。
・任意の隣り合う$3$枚のタイルに書かれた数の積は平方数である。

解答形式

半角数字で答えてください。