【問題】
実数全体で定義された連続関数の列 ${f_n(x)}_{n=1}^{\infty}$ を以下のように帰納的に定義する。
$$f_1(x) = \frac{1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$$
$$f_{n+1}(x) = 2x \cdot f_n(x) - \frac{d}{dx}\left[ (x^2+1) \cdot f_n(x) \right] \quad (n \ge 1)$$
このとき、次の定積分 $I$ の値を求めよ。
$$I = \int_{0}^{1} f_3(x) \, dx$$
解答形式
必要であれば、ルートを表す√の文字(例：√A)、円周率であるπの文字、虚数であるiの文字を使っても良い。
また、項が複数存在する場合はA + B - Cのように半角スペースで分け、
分数で答える場合は、A/Bと答えること。(A、Bは実数又は複素数)
ヒント1
一見すると複雑な微分や関数の列に見えますが、適切な「式の整理」と「構造の見極め」ができれば、ドミノ倒しのように綺麗に解き明かすことができます。
ヒント1：まずは漸化式を「極限まで」シンプルにしよう
与えられた $f_{n+1}(x)$ の定義式には、右辺に $\frac{d}{dx}\left[ (x^2+1) \cdot f_n(x) \right]$ という積の微分が含まれています。
まずはこれを実際に微分して展開してみてください。
ヒント2：愚直に $f_3(x)$ を求めてみよう
ヒント1で得られたシンプルな漸化式を使って、$f_1(x) \rightarrow f_2(x) \rightarrow f_3(x)$ と順番に計算を進めます。
ヒント3：美しい「原始関数」を見つけ出そう
約分を終えて整理した $f_3(x)$ は、以下の形になります。
$$f_3(x) = \frac{2(x^2+1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)}{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)^2}$$
このままでは積分しづらいですが、この関数は「有名なあの関数」の微分と、ある「分数関数」の微分の和に分解することができます。
第1項 $\frac{1}{x^2+1}$ の積分といえば、どの関数を思い浮かべますか？
また、第2項は $\frac{d}{dx}[\dots]$（すでに微分された形）になっているため、積分すると中身がそのまま飛び出してきます。あとは、積分区間 $[0, 1]$ の上端と下端を代入すれば、驚くほど綺麗な答えに辿り着きます。
