問題
1辺が$2$の$正方形ABCD$と$正三角形ADE$($辺AD$を共有し、$\angle EAB=150°$)がある。$EB$上に$点F$をとり、$点F$と、$点C$を結んだ。
そして、$\angle GFC=\angle HFC=120°$となる$点G$、$点H$をそれぞれ$辺EA,ED$上にとった。その時$GF+HF+CF=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$となった。
また、$△CDE$の外接円の中心を$O_{1}$、$△BCE$の外接円の中心を$O_{2}$とし、$\angle AO_{1}O_{2}=\angle O_{2}O_{1}I$である$点I$をとる。
このとき次の問いに答えよ。
(1)$△GHF$の外接円の面積と$△O_{1}O_{2}I$の外接円の面積の比は$a:b$である。このときの$a+b$の値を求めよ。
(2)$AF$の長さは$a\sqrt{b}-c$である。このときの$a+b+c$の値を求めよ。
(3)$\angle FO_{1}O_{2}:\angle O_{2}O_{1}I:\angle IO_{1}C:\angle CO_{1}B=a:b:c:d$である。このときの$a+b+c+d$の値を求めよ。
(4)$△BEO_{1}$の外接円の中心を$点O_{3}$とする。$\angle O_{3}O_{2}O_{1}=a°$とするとき、$a$の値を求めよ。
(5)$\angle BJO_{1}=90°$である$点J$を$辺O_{1}O_{2}$上にとる。また、$EK=\sqrt{6}$である$点K$を$辺EO_{1}$上にとる。$点C,F,J$を通る$円O_{4}$と$点J,K$を通り、半径が$\sqrt{2}$である$円O_{5}$が重なる面積は$\frac{a\pi+b}{c}$である。このときの$a+b+c$の値を求めよ。
解答形式
$n$行目に($n$)の答えを書いてください。
