数直線上の動点のサイコロ操作による確率

問題文

$\ell,m,n を0以上の整数とする。$
$動点Pは、数直線上の0をスタートとし、以下の操作をn回行った後の座標をX_{n}とする。$

$1個のサイコロを1回振って1か2の目が出たら正の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$3か4の目が出たら負の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$5か6の目が出たら移動しないとする。$
$ただしmは、移動した回数を表し、初期値は0であり、$
$1〜4の目が出て移動するのが1回目なら1、m回目ならmであり、$
$5か6の目が出て移動しないときは増えずに、それまでの移動回数を保持する。$
$ゆえにmはサイコロを振った回数(操作回数)と同じになるとは限らない。( m\leq n)$

$X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率P_{\ell}を\ellとnを用いて表せ。必要ならばmを使ってもよい。 $

難易度

難易度は難関大学の入試問題レベルだと思います。
苦労して作ったので良問であってくれれば嬉しいです。