数直線上の動点のサイコロ操作による確率
2026年9月24日13:41
正解数: 0 /
解答数: 0
ギブアップ不可
問題文
$\ell,m,n を0以上の整数とする。$
$動点Pは、数直線上の0をスタートとし、以下の操作をn回行った後の座標をX_{n}とする。$
$1個のサイコロを1回振って1か2の目が出たら正の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$3か4の目が出たら負の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$5か6の目が出たら移動しないとする。$
$ただしmは、移動した回数を表し、初期値は0であり、$
$1〜4の目が出て移動するのが1回目なら1、m回目ならmであり、$
$5か6の目が出て移動しないときは増えずに、それまでの移動回数を保持する。$
$ゆえにmはサイコロを振った回数(操作回数)と同じになるとは限らない。( m\leq n)$
$X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率P_{\ell}を\ellとnを用いて表せ。必要ならばmを使ってもよい。 $
難易度
難易度は難関大学の入試問題レベルだと思います。
苦労して作ったので良問であってくれれば嬉しいです。
ヒント1
$①X_{n}\leq0となる確率を求める。$
$②0< X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率A_{\ell}の漸化式と初項A_{0}を求めて、解く。$
$③①と②を足し合わせてP_{\ell}を求める。$
ヒント2
$②の解法$
- $n \leq \ellのとき A_{\ell}=0$ ⓵
- $n \geq \ell+1のとき X_{n}=\frac{1}{2^{\ell+1}}となる確率は$$\frac{{}_{n}{\mathrm{C}}_{\ell+1}}{3^{n}}$
$(∵X_{n}=\frac{1}{2^{\ell+1}}までは、\ell+1回の「移動」とn-\ell-1回の「移動しない」が必要な$
$後戻りできない一本道だと見なせるので、行き方の数は{}_{n}{\mathrm{C}} _{\ell+1}である)$
$
$
$0< X_{n} < \frac{1}{2^{\ell}}となる場合(m\geq\ell+1)は、座標\frac{1}{2^{\ell+1}}に関して左右対称であり、$
$0< X_{n} < \frac{1}{2^{\ell+1}}は、0< X_{n} < \frac{1}{2^{\ell}}のうち、$
$X_{n}=\frac{1}{2^{\ell+1}}を除いた左半分であることから漸化式を作る。$
ヒント3
$②の漸化式は、$
$$
A_{\ell+1}=\frac12(A_{\ell}-\frac{{}_{n}{\mathrm{C}}_{\ell+1}}{3^{n}}), A_{0}=\frac12(1-\frac{1}{3^{n}}) ⓶
$$
$⓶を解いた式は⓵も満たすことを確かめる。$
スポンサーリンク
解答提出
この問題は出題者ジャッジの問題です。
出題者が解答を確認してから採点を行います。
