解説
$(1)$
$$f(x,y,z)\ge2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge3$$1つ目の不等式は相加・相乗平均の関係式、2つ目はNesbittの不等式。等号成立は$x=y=z=1$
$(2)$
$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{1-x}+\frac{1+y^2}{1-y}+\frac{1+z^2}{1-z}\ge3\left(\frac{1+\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{1-\frac{x+y+z}{3}}\right)=5$$凸不等式を用いた。等号成立は$x=y=z=1/3$
$(3)$
$$f(x,y,z)\ge\frac{2}{\sqrt 3}\left(\frac{1+x^2}{\frac 23+y^2+z^2}+\frac{1+y^2}{\frac 23+z^2+x^2}+\frac{1+z^2}{\frac 23+x^2+y^2}\right)=\frac{2}{\sqrt 3}\left(\frac{1+x^2}{\frac 53-x^2}+\frac{1+y^2}{\frac 53-y^2}+\frac{1+z^2}{\frac 53-z^2}\right)\ge2\sqrt 3\left(\frac{1+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}{\frac 53-\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\right)=2\sqrt 3$$1つ目の不等式は相加相乗平均の関係式、2つ目は凸不等式。等号成立は$x=y=z=1/\sqrt 3$
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