求値問題6

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2021年1月16日18:47 正解数: 5 / 解答数: 5 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0

解説

$(1)$
$$f(x,y,z)\ge2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge3$$1つ目の不等式は相加・相乗平均の関係式、2つ目はNesbittの不等式。等号成立は$x=y=z=1$

$(2)$
$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{1-x}+\frac{1+y^2}{1-y}+\frac{1+z^2}{1-z}\ge3\left(\frac{1+\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{1-\frac{x+y+z}{3}}\right)=5$$凸不等式を用いた。等号成立は$x=y=z=1/3$

$(3)$
$$f(x,y,z)\ge\frac{2}{\sqrt 3}\left(\frac{1+x^2}{\frac 23+y^2+z^2}+\frac{1+y^2}{\frac 23+z^2+x^2}+\frac{1+z^2}{\frac 23+x^2+y^2}\right)=\frac{2}{\sqrt 3}\left(\frac{1+x^2}{\frac 53-x^2}+\frac{1+y^2}{\frac 53-y^2}+\frac{1+z^2}{\frac 53-z^2}\right)\ge2\sqrt 3\left(\frac{1+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}{\frac 53-\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\right)=2\sqrt 3$$1つ目の不等式は相加相乗平均の関係式、2つ目は凸不等式。等号成立は$x=y=z=1/\sqrt 3$


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解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 全体の方針
  2. 補助線の方針
  3. 補助線を活かす視点をぼんやりと
  4. ヒント3の続き

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解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

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半角数字で解答してください。