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問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題6問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題8問の解を求めよ。

解答形式

求めた解を半角の正整数値で入力してください。

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題6問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

$AB

$AB

鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．

問題文

正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。

問題文

非負整数からなる組$(a,b)$であって
$\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$　および　$\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$
がともに整数となるものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。

・残っている文字列に対し、**i

問題文

$\left( \tan^3 20^\circ - \tan^3 40^\circ + \tan^3 80^\circ \right)^2 $ の値を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください.