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平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．
問題文
正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。
・残っている文字列に対し、**i
【問題】
実数全体で定義された連続関数の列 ${f_n(x)}_{n=1}^{\infty}$ を以下のように帰納的に定義する。
$$f_1(x) = \frac{1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$$
$$f_{n+1}(x) = 2x \cdot f_n(x) - \frac{d}{dx}\left[ (x^2+1) \cdot f_n(x) \right] \quad (n \ge 1)$$
このとき、次の定積分 $I$ の値を求めよ。
$$I = \int_{0}^{1} f_3(x) \, dx$$
解答形式
必要であれば、ルートを表す√の文字(例：√A)、円周率であるπの文字、虚数であるiの文字を使っても良い。
また、項が複数存在する場合はA + B - Cのように半角スペースで分け、
分数で答える場合は、A/Bと答えること。(A、Bは実数又は複素数)
問題文
正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。
解答形式
答えは複数あるので, その総和を入力してください。
問題文
自然数nと2つの正の数m、rに対して、関数 f(x) のグラフは、中心が (m, n) で半径が r の円 C の y≦n の部分（ただし、 m-r≦x≦m+r ）である。関数f(x)が次の条件を満たしている。
（ア）方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は2である。
（イ）方程式 f(x-3f(x))=0 の異なる実数解の個数は3である。
曲線 y=f(x)上の点(10, 2)における接線の方程式が3x-y-28=0であるとき、 m+n+r²の値を求めよ。
解答形式
自然数で入力してください。