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問題文
三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします.
$$AG=9 HG=2 \angle{AGH}=60^\circ$$
が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします.
$$BC=14 AM=9 \tan{\angle{BAC}}=2$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします.
$$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228, AC-AB=10 $$
が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$\angle{A}=90^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 三角形 $IBC$ の外接円上に点 $P$ をとると $BP=4, CP=5$ が成立しました. $BC^2$ としてありうる値の総和を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ において, $A$ から 線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし, 線分 $AB$ 上に点 $E$ を, $DE \parallel AC$ を満たすようにとります. 三角形 $AEC$ の外接円が再び線分 $BC$ と点 $F$ で交わり,
$$BF=1 FD=3 DC=14$$
が成り立つとき, 線分 $AC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7 PC=4 \cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。
解答形式
答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。
問題文
正整数 $n$ に対し， $n$ 以下の正整数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $\varphi(n)$ ，$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とします．
このとき，以下の式が成り立つような正整数の組 $(a,b)$ であって $a$ と $b$ がともに $20$ 以上の素因数を持たないようなものを全て求めてください．
$$
a^2 + b^2 = \sqrt{d(b)}(ab - \varphi(a^2))
$$
解答形式
条件を満たす $(a,b)$ 全てについての $ab$ の総積を $P$ とします．$d(P)$ を入力してください．なお，必要であれば電卓を用いても構いません．
