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問題文

いずれも $0$ でない $4$ 個の複素数 $x,y,z,w$ が
$$x+y+z+w=30$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$ $$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$ $$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$ の値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$1,2,...,102$ の並び替え $\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(102))$ について，多項式 $F_{\sigma}$ を
$${F_{\sigma}=x^{200}+x^{199}+\sum_{m=1}^{102}m\sigma(m)x^{m-1}}$$ で定めます．$x$ に関する $200$ 次方程式
$$F_{\sigma}=0$$ の重複を含めた $200$ 個の複素数解を $\alpha_{\sigma_1},\alpha_{\sigma_2},...,\alpha_{\sigma_{200}}$ とし，
$$\sum_{k=1}^{200}\alpha_{\sigma_k}^{100}$$ の値を $\sigma$ のスコアとします． このとき，$\sigma$ としてありうるもの $102!$ 通りすべてについてのスコアの平均値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2025}$ 次方程式

$${2026x^{2025}-2025x^{2024}-2x+1=0}$$

の重複を含めた ${2025}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{2025}}$ とします．以下の値を求めてください．

$$\sum_{k=1}^{2025}α_k$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 ${a,b}$ を用いて ${\frac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$x$ に関する $2028$ 次方程式
$$x^{2028}-x^{2026}-3x^{1000}+3x^{998}-5x^2+5=0$$ の重複を含めた $2028$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2028}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{2028}\alpha_k^{2026}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $243$ 次方程式
$${x^{243}+3x^{242}+5x^{241}+...+485x+487\left(=\sum_{m=0}^{243}(2m+1)x^{243-m}\right)=243}$$ の重複を含めた $243$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{243}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{243}\alpha_k^{243}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

数列 ${\lbrace F_n \rbrace(n=0,1,...)}$ を ${F_0=1,F_1=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${(n \ge 2)}$ で定めます．

$x$ に関する $15$ 次方程式
$${x^{14}+x^{13}+2x^{12}+...+233x^2+377x+610\left(=\sum_{m=0}^{14}F_{m}x^{14-m}\right)=-x^{15}+2026}$$
の重複を含めた $15$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{15}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{15}\alpha_{k}^{15}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${100}$ 次方程式
$${x^{100}+27x^{99}+9x^{98}+243=0}$$ の重複を含めた ${100}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{100}}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100}α_k^2$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $10$ 次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$ の重複を含めた $10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$x$ に関する $2026$ 次方程式
$${2026^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2026}x^{2026}+2025^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2025} x^{2025}+...+1^2{}_{2026}\mathrm{C}_{1}x \left(=\sum_{k=1}^{2026}(k^2 {}_{2026}\mathrm{C}_k) x^k\right)=1000x+2026}$$ の重複を含めた $2026$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2026}$ とします．
$$S_m=\sum_{k=1}^{2026}\alpha_{k}^{m}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$$\prod_{n=1}^{2024}\left(\left(\sum_{m=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{m}S_{m}\right)-1\right)$$

解答形式

整数 $t$ の正の約数の個数を $d(t)$ で表すものとします．
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$8d(b)-d(a)$ の値を解答してください．

問題文

$x$ に関する $6$ 次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$ の重複を含めた $6$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．

• $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．

解答形式

半角で解答してください．

2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。