全問題一覧

問題文

三角形 $ABC$ において, $A$ から 線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし, 線分 $AB$ 上に点 $E$ を, $DE \parallel AC$ を満たすようにとります. 三角形 $AEC$ の外接円が再び線分 $BC$ と点 $F$ で交わり,
$$BF=1　　FD=3　　DC=14$$
が成り立つとき, 線分 $AC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7　　PC=4　　\cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。

解答形式

答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。

問題文

正整数 $n$ に対し， $n$ 以下の正整数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $\varphi(n)$ ，$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とします．

このとき，以下の式が成り立つような正整数の組 $(a,b)$ であって $a$ と $b$ がともに $20$ 以上の素因数を持たないようなものを全て求めてください．

$$
a^2 + b^2 = \sqrt{d(b)}(ab - \varphi(a^2))
$$

解答形式

条件を満たす $(a,b)$ 全てについての $ab$ の総積を $P$ とします．$d(P)$ を入力してください．なお，必要であれば電卓を用いても構いません．

点 $O$ を中心とする単位円に内接する正六角形 $ABCDEF$ について $,$ 線分 $AF$ の中点を $M$ とします. 直線 $CM$ と直線 $AD$ の交点を $P,$ 直線 $CM$ と直線 $BE$ の交点を $Q$ とします.三角形 $OPQ$ の面積の値は$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$と表せるので$,$ $a$ の値を回答してください$.$

東君はスーパーに鉛筆を買いに来ました.鉛筆の税抜価格は $109$ 円です.しかし東君が財布の中身を見てみるとなんと $10$ 円玉しか入っていませんでした.東君はこう考えました.

「鉛筆は少なくとも一つ買いたいけど、お釣りだけは絶対にもらいたくない」

この時東君は最低で何個の鉛筆を買わなければいけませんか.ただし会計の時に支払う合計金額は税抜価格の総和の $1.1$ 倍の整数部分で定義され$,$東君は十分な枚数の $10$ 円玉を持っているものとします.

非負の実数の数列 $\lbrace a_{n} \rbrace (n=0,1,2,\cdots)$は次の $3$ つの条件を満たしている.

条件 $1:$ $ a_{n+1}=2a_{n}+3 \lfloor a_{n} \rfloor$
条件 $2:$ $a_{100}$ は整数で,しかも $4$ の倍数である$.$
条件 $3:$ $0 \le a_{0} < 2$

$a_{0}$の取りうる値は $N$ 個あるので $,$ $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を解答してください.

以下の式の値が素数となるようなすべての正の整数の組 $(m,n)$ について, $mn$ の総和を求めてください.
$$
\dfrac{m^n-1}{m+n+7}
$$

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $1000$ 桁の $fool$ 数のうち $7$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ を素数 $499$ で割った余りを求めてください.

次の条件を考えます

条件$i:$ $3 \times 3$ のマス目に $1$ から $9$ の数字を $1$ 回ずつ書き込む方法であってどの $2 \times 2$ の $4$ マスを選んでもそこに書かれている数字の総和が $i$ 以下である.

条件を満たす配置が少なくとも $1$ つ存在するような $i$ の最小値を $i_{min}$とする時 $,$条件$i_{min}$を満たすような数字の書き込み方は何通りありますか.

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $999$ 桁の $fool$ 数のうち $3$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ の下三桁を求めてください.

$108$ の正の約数全体の集合を $S$ とします．また$,$整数からなる集合 $X$ の要素のうち正の整数 $p$ で割り切れる最大の回数が $n$ であるようなものの個数を $f_{p,n}(X)$ とします. $S$ の部分集合 $U$ であって次の$2$つの条件をともに満たすようなものはいくつありますか$?$

条件$1$ $:$ $f_{2,0}(U)$$,$$f_{2,1}(U)$$,$$f_{2,2}(U)$ は相異なる$.$
条件$2$ $:$ $f_{3,0}(U)$$,$$f_{3,1}(U)$$,$$f_{3,2}(U)$$,$$f_{3,3}(U)$ は相異なる$.$

ただし $p \nmid x$であるとき $x$ が $p$ で割り切れる最大の回数は $0$ とします$.$