全問題一覧

問題文

モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、
・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。
・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。
・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。
ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、
最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$ $　次の等式をみたす正整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めて下さい．
$$x^3 + 2x^2y + x^2z + xy^2 + xyz = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$$

解答形式

半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

tan1°は有理数か

はいorいいえで答えてね！

（解答が間違っていました。すみませんでした。修正しました.)

3辺の長さがそれぞれ自然数の三角形であり、3辺の長さの合計が1200になるという。このような条件を満たす三角形の個数を求めよ。

次の問題のxとyを求めてください。

3x➕2y🟰x➖y🟰2x➖3y➖7

x＝○○、y＝○○
の形で回答してください。
xとyは小文字です。
マイナスが付く場合はひらがなの延ばし棒を記入してください。

2025年4月1日に東京都知事である小池百合子がやさしい日本語を東京都民全員が使うべきだとの意向を示しました。
しかしながら、外国人に合わせた言葉というのは日本人には話しにくい言葉となります。
そこで問題です。

これから以下のリンクにある東京都が定めたやさしい日本語に慕い、日本語と英語圏の人が難しいとされる五十音をタブーワードとし、日本人同士の会話で意味が伝導できなくなる、伝わりづらくなる例をなるべく多く解で挙げ会話をつないでください。
会話ができない例が出た時点で正答とします

使って良い言葉は以下の通りです
・やさしい日本語
・英語圏の人が難しくない五十音

タブーワードは以下の通りです
・日本以外の外国語
・古語
・三字以上の熟語
・方言
・省略語
・擬音語、擬態語
・です、ます以外の敬語
・動詞や単語の間に母音が入る言葉
(はいる、そうじ、とおる、こおり…など)
・五十音の「ん」の後に
「か行」、「た行」、「だ行」、「な行」、
「ぱ行」、「ば行」、「ま行」、「ら行」
が続く言葉
(かんたん、かんぱい、こんぶ、こんにゃく…など)
・促音を抜かない言葉
(せっけん、はっけん、とっけんなど)

参考ページ:
やさしい日本語の例
https://tokyodouga.metro.tokyo.lg.jp/hjnzzmmhmjk.html

https://tokyodouga.metro.tokyo.lg.jp/st-1m5d2jr4.html

https://tokyodouga.metro.tokyo.lg.jp/3myjp-ggyvm.html

外国人が間違えやすい五十音
https://note.com/0306hiroshimi/n/ncbde7474112d

https://www.sanko-nihongo.com/column/pronunciation/

小池百合子が掲げた案
https://portal-worlds.com/news/asean/36261

問題文

$n$を$2025$以下の正整数とする。
ある$n$について、$(n^{2}+n+1)(n^{3}+n^{2}-2n)$がもつ素因数$2$の個数を$d(n)$で表す。
$d(n)=1$となるような$n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$p $を 3 以上の素数とする。$X = (p-1)! $とおく。
次の和 S を考える。
(1) $S = X^X + X^{pX}$
$S $を $p^2 $で割った余りを求めよ。
(2)$p$ を $3$ 以上の素数とし、$X=(p-1)!$ とおく。
$k=1, 2, \dots, p-1$ に対して、$A_k = k^{(X^p)}$ および $B_k = (X^k)^{(p-1)}$ と定義する。
次の和 $S$ を考える。
$$S = \sum\nolimits_{k=1}^{p-1} (A_k + B_k)$$
$S$ を $p^2$ で割った余りを求めよ。

問題文

$p$ は $gcd(p, 10) = 1$ を満たす $p > 1$ の素数とする。
$\frac{1}{p}$ の小数表示における循環節を $C_1C_2...C_L$ とし、その長さを $L$ とする (すなわち $L = ord_p(10)$ である)。
循環節を構成する数字の並びから、以下の2つの整数を定義する。
1. $N_0 = C_1C_2...C_L$ (これを10進法の整数として評価した値)
2. $N_1 = C_2C_3...C_LC_1$ (同様に10進法の整数として評価した値)
また、$C_1 = \lfloor \frac{10}{p} \rfloor$ (すなわち $\frac{1}{p}$ の小数第1位の数字) とする。

以下の2つの条件 (A) と (B) を同時に満たすような、全ての組 $(p, q)$ を求めよ。
(A) $N_1 = qN_0$ が成り立つ。ここで $q$ は $q \ge 2$ を満たす整数である。
(B) $L = q - C_1$ が成り立つ。

解答形式

ある程度解答の方針を示した上で、
解を答えて下さい

問題文

$gcd(x,y,z)＝1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。
(1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。
$x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。
(2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明
(2)は答えだけで構いません

問題

x,y,z を正の整数とするとき、方程式
$$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=k $$
は正の整数 k の値をとるとする。

(1)この条件を満たす$(x,y,z)$のうち、少なくとも1つが$1$であるとき、$k＝1+m^2$(mは自然数)とかけることを示せ。
(2) k=5 とする。方程式 $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=5$ を満たす正の整数解 (x,y,z) で、$x \le y \le z$ を満たすものを考える。これらの解の中で、比の値 $\frac{z}{y}$ が $9.8$ より大きくなるような解のうち、$z$ の値が最小となるものを求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明と、
(2)はある程度解答の方針を示した上で
解を答えて下さい。