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問題文
図のように黒･赤･青の正方形と、その外接円が配置されています。黒い正方形の一辺の長さが2であるとき、緑で示した線分の長さを求めてください。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
※2020.11.10 18:49 問題タイトルを修正しました。
（解答に影響はありません）
図中の線分ABの長さを求めてください。
緑で示した2つの三角形の面積の差は11，赤と青で示した線分の長さの差は1です。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
$n$ を正の整数とするとき，以下の条件を満たす三角形の総数 $T_n$ を求めなさい。ただし，互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。
- 条件：三角形の辺の長さはすべて $n$ 以下の整数である。
例えば，$n=1$ のときには，辺の長さが $1$ の正三角形を作ることができる。これ以外に条件を満たすような三角形は存在しない。よって $T_1=1$ である。
$n$ が奇数のとき
$$
T_n=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}n^3+\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}n^2+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}}n+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}
$$
である。
解答形式
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ には，半角数字 0 - 9 ，記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数は既約分数の形で答えてください。
問題文
$n$ を自然数とする。置換 $\sigma\in \mathfrak{S}_n$ に対して，$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ を次のように定義する。
- $\sigma$ を 互いに素な（共通元をもたない） 巡回置換の積に表したとき，各巡回置換の長さの積の逆数を $m(\sigma)$ とする。（太字部分は19:42追記）
例えば $\sigma=(1 4 2)(5 6 7)(3)\in \mathfrak{S}_7$ なら，$\sigma$ は長さ $3, 3, 1$ の巡回置換からなるから，$\sigma$ の近道度 $m(\sigma)$ は
$$
m(\sigma)=\frac{1}{3\cdot 3\cdot 1}=\frac{1}{9}
$$
である。自然数 $n$ に対して，${1,\cdots, n}$ の置換（これは $n!$ 通りある）の近道度の平均を
$$
f_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} m(\sigma)
$$
とおく。
$$
f_1=1, \; f_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, \; f_4=\frac{\fbox{ウエオ}}{\fbox{カキク}}
$$
であり，
$$
\sum_{n=0}^{\infty} f_n=\fbox{X}
$$
である（級数が収束することは証明なしに認めてよい）。ただし $f_0=1$ と約束する。
※ $\mathfrak{S}_n$ は $n$ 次対称群を表す（19:03追記）。
解答形式
$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ク}$ には 0 - 9 の数字が当てはまります。$\fbox{ X }$にはある実数が当てはまります。空欄のある分数はすべて既約です。
- 1行目 には $\fbox{ア}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
- 2行目 には $\fbox{イ}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
- 3行目 には $\fbox{ウエオ}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
- 4行目 には $\fbox{カキク}$ に当てはまる数を半角で入力してください。
- 5行目 には $\fbox{ X }$ に当てはまる数を入力します。答えを $10$ 進小数で表し，小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください。例えば，$9.876\cdots $ が答えになる場合は
9.9と解答してください。
ヒント
- $f_0,\cdots, f_{n-1}$ を使って $f_n$ を表すことができます。
- $f_n$ の母関数を $f(t)=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}} f_nt^n$ とおくと，$f(t)$ はとある微分方程式を満たします。
問題文
数列$~\{a_n\},~\{b_n\}$を相異なる2つの実数$~\alpha,\beta~$を用いて以下のように定義する。
$$
a_n = \cfrac{1}{\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\alpha^{n-k}\beta^{k}}~~~,~~~b_n = \sum_{m=0}^\infty\frac{1}{a_mn^{m+2}}
$$ただし、$\{b_n\}~$は$n\geq 2$で定義されるものとする。$\alpha,\beta~$が
$$
\begin{cases}
\alpha + \beta = 1\\
|\alpha||\beta| = 1
\end{cases}
$$を満たすとき、
$$
a_k = b_k
$$となる最小の自然数$~k~$は$~k=\fbox{ア}\fbox{イ}$であり、このとき$~b_k = \cfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}\fbox{オ}}$である。
解答形式
ア〜オには0から9までの数字のいずれかが入る。
数字列「アイウエオ」をすべて半角で入力し解答せよ。
ただし、分数は既約分数の形にすること。