公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB=DC,AC=AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について垂心を $H$ とし,三角形 $ABC$ の外接円と直線 $BH$ ,直線 $CH$ の交点をそれぞれ $(D\neq B),E(\neq C)$ とする.半直線 $DE$ と直線$BC$の交点を$P$とすると,三角形 $AEH$ の外接円は直線 $HP$ に点 $H$ で接し, $PH=3,AE=4$ であった.このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について,外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする.相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び,$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した.線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
鋭角三角形 $ABC$ があり, $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし,重心を $G$ ,垂心を $H$ とする.このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD=3,CD=5$であったので, $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
三角形 $ABC$ があり, $ \angle ACB$ の二等分線と $AB$ の交点を $D$ とし,線分 $BC$ 上に点 $P$ ,線分 $AC$ 上に点 $Q$ をとると相異なる $4$ 点 $A,C,D,P$と$B,C,D,Q$ はそれぞれ共円であり $CP=3,CQ=4,AB=15$ が成立した.このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$,円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$,円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする.
直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると,$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき,$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
設問2
容器Aには食塩 $X_0 = 10$g を含む食塩水が全量 $M_A = 100$g、容器Bには食塩 $Y_0 = 60$g を含む食塩水が全量 $M_B = 200$g 入っている。1回の操作として、以下の(i), (ii)を順に行う。
(i) 容器Aから $50$g の食塩水を取り出して容器Bに移し、よく撹拌する。
(ii) 容器Bから $50$g の食塩水を取り出して容器Aに移し、よく撹拌する。
$n$ 回の操作が終了した後の容器A, B内の食塩の質量をそれぞれ $X_n, Y_n$ とする。$X_n$ および $Y_n$ を求めよ。
例)ひらがなで入力してください。