全問題一覧

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

πの翻訳ってなーんだ？

解答形式

カタカナで解答してください

問題文

$30$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=30,29, \dotsc,1$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $30$ 人それぞれに正整数を与え，$i=30,29,\dotsc,1$ について以下を繰り返す．
  • まだ叫んでいない人の内，与えられた数が $i$ の約数もしくは倍数である人は，数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$30$ 人に与えられる正整数の総和の最小値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=4,\angle ACB=45^\circ,AB<AC $を満たす鋭角三角形$ABC$がある。辺$BC$の中点を$M$とすると、線分$AM$上に$CP=4$となる点$P$をとることができた。また、点$Q$を辺$BC$に関し$A$と反対側に$\angle ACP=\angle PAQ,BQ=CQ$になるようにとったところ、$BQ=7$となった。このとき、線分$BC$の長さを求めよ。

解答形式

求める長さの二乗、$BC^2$は互いに素な自然数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので、$p+q$の値を求めてください。

問題文

$3×5$のマス目がたくさんあり、これを「カード」と呼びます。
いま、1以上2025以下の整数の中から異なる2つの自然数を選び、$(i,j)$(ただし$i<j$)とします。
この時、「カード」を何枚か使うことで$i×j$のマス目を以下の「条件」を全て満たすように埋めることができるような$(i,j)$の組は何通りですか。

「条件」
・マス目の中で、「カード」同士が重なっている部分が存在しないこと。
・マス目から「カード」がはみ出した部分が存在しないこと。
・マス目の中で、「カード」が置かれていない場所が存在しないこと。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$314$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=1,2, \dotsc,314$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $314$ 人それぞれに人$1,$ 人$2,$ ... 人$314$ と名付け，次に，人$i$ $(2 \le i \le 314)$ に $1$ 以上 $314$ 以下のいくつかの正整数を与える．そして， $i=1,2, \dotsc,314$ について以下を繰り返す．
  • $i=1$ ならば人$1$ が叫ぶ．そうでないなら，まだ叫んでいない人それぞれについて，与えられた数の集合を $S$ として，$S$ の中にもう叫んだ人$j$が含まれている場合，その人が数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$313$ 人に対する正整数の与え方の場合の数が $2$ で最大何回割れるかを解答してください．ただし， $314$ 人の名付け方は固定されているものとします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H$、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とすると、$2\angle BAD=\angle CAD,AC=11,DH=4$ であった。このとき、線分 $BC$ の長さを求めよ。

解答形式

求める長さの二乗、$BC^2$ は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$ と表せるので、$p+q$ の値を求めてください。

問題文

$0$ から $9$ まで書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ $10$ 枚あります。これらを $1$ 列に並べ替えてからいくつかの部分に区切ると、それぞれの部分を $10$ 進数で読んだ数はすべて素数になりました。このとき、できた素数の総和としてありうる最小の値を求めてください。ただし、それぞれの部分の最初のカードに書かれた数は $0$ でないものとします。

解答形式

半角数字で答えてください。

問題文

ある一の位も百の位も $0$ でない $3$ 桁の正整数を $x$ として， $x$ を十進法で逆から読んだ数を $X$ とおきます．
例えば， $x=314$ のとき $X=413$ です．
$x+X$ の下 $2$ 桁が $57$ のとき， $x$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。
この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$ , 外心を$O$とします。
$AI=5$ , $AO=6$ , $AB+AC:BC=5:2$が成り立っている時、$cos\angle OAI$の値を求めてください。

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので、$a+b$の値を解答してください。

問題文

実数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ が考えられる最大値をとるような $P(x)$ の個数を素数 $9973$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．