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問題文

正整数 $n$ に対し，$100$ との正の公約数の個数を $f(n)$ とおくとき，以下の値を求めよ.　
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} f(k)$$

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，$H$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $D$ とする. また三角形 $ABC,AHD$ の外接円をそれぞれ順に $Γ,ω$ とし，$Γ$ と $ω$ の交点であって $A$ とは異なるものがあったのでこれを $X$ とし，三角形 $BCD$ の外心を $O$ とすると，以下が成り立った.
$$HX=5,HD=3,XO=7$$
　このとき線分 $BD$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b}}{a}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めよ.

問題文

次の条件を満たす正の整数 $x$ の最小値を求めよ. ただし， $v_m (p)$ で整数 $p$ が整数 $m$ で割り切れる最大の回数を表すものとする.

• $2$ 以上の整数 $n$ であって， $v_{n+ v_n(x)}(x) ≠ 0$ となるものの最小値は $12$ である.

問題文

$AD \parallel BC$ なる台形 $ABCD$ があり，直線 $AC$ 上に $P$ をとると，$\angle PBC=\angle BCD$ 及び以下が成り立った.

$$AD=12,DC=14,PB=20,PC=25$$

このとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を求めよ.

問題

鋭角三角形 $ABC$ について， $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし，線分 $AD$ の中点を $M$ とする. 辺 $AC$ 上に点 $E$ を $\angle CDE=\angle BAD$ となるようにとり，辺 $AB$ 上に点 $F$ を $FM \parallel DE$ となるようにとる. また三角形 $AFM$ の外接円を $ω_1$ とし，$F$ とともに $ω_1$ の直径をなす点を $G$ とする. 直線 $GB$ と直線 $ED$ の交点を $H$ とすると，$\angle GCH=2\angle BAD$ が成り立った. そして三角形 $GCH$ の外接円を $ω_2$ とし，$ω_2$ 上に直線 $AD$ に関して $B$ と反対側に $I$ をとると，$\angle BFD=\angle DMI,\angle IGB=\angle ABC$ がともに成り立った. このとき $\lfloor 10^6\cos \angle ABC \rfloor$ を求めよ.

関数 $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ であって，任意の正の整数 $m,n$ に対して
$$ \dfrac{f(m+2n)-2f(n)}{f(m)}$$が正の整数となるようなものを全て求めよ．

問題文

半径が同じ円をたくさん重ならないように、すべての円が3個の円と接するようにするには最低何個円が必要か？

解答形式

半角で、個はいりません。

問題文

27個の立方体を考える。これらを３×３×３の大きな立方体になるように、組み立てたとき、以下の条件を満たすような塗り分けは何通りあるか？九色使って塗り分ける（使わない色があってはいけない）。大きな立方体の面の上に同じ色が２個以上使われてはいけない。接している他の立方体とは違う色である。立方体全てにそれぞれ１色ずつ色を塗る。回転して同じものも違うものと考える。

解答形式

半角でお願いします。
「通り」はつけないでください。

問題文

正の整数 $a$ に対し、$v_2(a)$ を $a$ を割り切る $2$ の最大のべき指数とする。また、$\operatorname{popcount}(n)$ は非負整数 $n$ の二進表示に含まれる $1$ の個数を表す。

次の和を $101$ で割った余りを求めよ。

$$
\sum_{k=1}^{4^{76}-1}(-1)^{\operatorname{popcount}(3k)}v_2\left({}_{4^{76}}\mathrm{C}_k\right)
$$

解答形式

非負整数を用いて解答せよ

問題

$x$についての方程式
$$t=|x^{2}+(3k-1)x-4k^{2}-4k|+(k-1)x-5k^{2}-3k+10$$
がある。($k$は定数とする。)
このとき、$x$の実数解が4つとなる$t$の範囲を$k$を用いて表すと次のようになる。
$k<-a,k>b$のとき$-ck^{2}-dk+e < y < k+f$

$k=g$のとき$h < y < i$

$j < k < l$のとき$-mk^{2}+nk+o < y < k+p$

このときの$a,b,c\cdots j,l,m,n,o,p$に当てはまる数をつぎの(1)~(25)から選べ

(1)$\frac{1}{10}$
(2)$\frac{1}{9}$
(3)$\frac{1}{8}$
(4)$\frac{1}{7}$
(5)$\frac{1}{6}$
(6)$\frac{1}{5}$
(7)$\frac{1}{4}$
(8)$\frac{1}{3}$
(9)$\frac{1}{2}$
(10)$0$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$3$
(14)$4$
(15)$5$
(16)$6$
(17)$7$
(18)$8$
(19)$9$
(20)$10$
(21)$11$
(22)$12$
(23)$13$
(24)$14$
(25)$15$

解答形式

行ごとのジャッチです。
$a=1$だとすると一行目に11と答える形になります。

$f_0(x)=|x|,f_{n}(x)=|f_{n-1}(x)-n|$ とします．
$$\sum_{k=1}^{66}f_6(k)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．