全問題一覧
問題文
$\dfrac{777777777}{888888}$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
円 $O_1$，円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており，円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので，その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします．
$AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき，${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き，$A$ を通る直線 $m$と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします．
また，$\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$，直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします．
$BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき，$\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると，$S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち，どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり，どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします．また，$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ に対し，重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし，直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ，$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました．
${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
三角形 $ABC$ において，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ，$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました．
このとき，$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$x$ の方程式
$x=1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{x}}}}}}}}$
の実数解の $2$ 乗和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
へこみのない四角形 $ABCD$ の外側に正方形 $ABFE,BCHG,CDJI,DALK$ を描いたところ，$\triangle ALE=16,\triangle BFG=9,\triangle CHI=36$ となりました．このとき，$\triangle DJK$ の面積を求めて下さい．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned}
20x+12y=20 \\
23x+31y=24
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$2023x+1231y$ の値を求めて下さい．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$8\times8$ のマス目に対し，上から $1$ 行目かつ左から $1$ 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き， 残りの $63$ マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を $1$ つずつ置きました．
このとき，「行もしくは列を $1$ つ選び，そこに置かれた $8$ つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ，すべての駒が黒を表にして置かれました．
このときの操作回数としてあり得る最小の値を $m$ とおくとき，操作回数が $m$ であって，最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．