全問題一覧

問題文

三角形 $ABC$ について，$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$，円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$，円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし，$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき，$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました．$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

半径が $4$ の円 $\Omega$ 上に2点 $A, B$ を直径をなさないようにとり，$A, B$ における $\Omega$ の接線の交点を $C$ とします．三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，3点 $A, C, H$ を通る円と $\Omega$ の交点を $D$ とすれば，$AB=CD$ が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

追記：$D\neq A$ とします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=13, AC=15$ なる三角形 $ABC$ について，直線 $BC$ 上に $AP=12$ なる点 $P$ がただ一つ存在しました．三角形 $ABC$ の面積としてありうる値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$で定義された数列において、$f_p$が$p$の倍数となるような素数$p$を全て求めてください。

解答形式

計算式全てを書く必要はないので論証の概略と答えを書いてください。

問題文

正整数 $N$ が 素直 であるとは以下の条件をともに満たすことを言います．

• $N$ は十進法表記で $6$ 桁であり，各桁に $0$ も $9$ も含まない数である．
• $N$ の上 $i$ 桁目を $a_i$ とするとき，「$a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_6$」もしくは「$a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_6$」のいずれかが成り立つ．

素直な整数の総和を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

2024年は閏年なので、2024年M月D日という日付が存在するような$(M,D)$の組は366組存在します。このような組のうち、
$$\frac{2024}{M・D}$$
が整数となる組の個数を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

次の計算をせよ。
$$
{}_{12}{\mathrm{C}}_{1}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{2}\quad+{}_{12}{\mathrm{C}}_{3}\quad+……+{}_{12}{\mathrm{C}}_{12}\quad
$$

解答形式

半角算用数字で解答してください

問題文

凸四角形$ABCD$は$\angle{BAC}$$=$$12^\circ$$,$$\angle {CAD}$$=$$30^\circ$$,$$\angle{ACD}$$=$$24^\circ$$,$$AB=CD$を満たします.このとき、$\angle{ADB}$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$度となるので、積$ab$の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

赤い音符と青い音符の二種類の音符を横に並べたものを譜面と呼びます．
以下の条件を同時に全て満たすような譜面がいくつあるかを求めてください．

• その譜面の赤い音符と青い音符の合計はちょうど $17$ 個である．
• その譜面の最も左の音符は赤い音符である．
• その譜面の左から $2$ 番目の音符は青い音符である．
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「赤い音符，青い音符，赤い音符」にならない
• その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
  「青い音符，赤い音符，青い音符」にならない

解答形式

非負整数を半角数字で入力し解答してください。

問題文

$5^n$ の十進法における上一桁の数が $1,2,3$ のいずれかであるような $9999$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか．ただし，$5^{9999}$ は十進法において $6990$ 桁であり，上一桁の数は $1$ です．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．