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問題文
表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。極限値
$$\begin{eqnarray}
A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\
B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A )
\end{eqnarray}$$を求めよ。
解答形式
$A,B$は
$$
A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ}
$$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えてください。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素です。例えば$\displaystyle A=+\frac{\pi^{2}}{3},B=-\frac{5\pi^{7}}{11}$としたいときは+23-5711と回答してください。計算して-5688とはしないでください。
問題文
$ $ 地理奈ちゃんは，$1$ を含んだ数列をいくつか思い浮かべようとしています．
$ $ そこで，以下のルールをすべて守った数列を，良い数列と呼ぶことにします:
- $1$ 以上 $9$ 以下の整数から $3$ つを選んでいる数列である．
- その数列は公差が $0$ でない等差数列である．
- 数列のどこか $1$ 項に必ず $1$ を含んでいる．
$ $ この時，良い数列は全部でいくつありますか？
解答形式
非負整数を半角で解答してください．
問題文
下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。
解答形式
半角数字で入力してください。
例）10
問題文
そらさんとあかつきさんは地点Aから東にある地点Bに向かって進みます。
そらさんは2秒間東に毎秒4m進み、1秒間西に毎秒2m進むを繰り返します。
あかつきさんは毎秒Xm東に進みます。
そらさんとあかつきさんは同時に地点Aを出発し、20秒後に同時に地点Bに到着しました。
Xはいくつですか？
解答形式
Xは互いに素な自然数A,Bを用いてA/Bと表せるので、A+Bを回答してください。
問題文
$ $ 地理奈ちゃんは，$10$ 面サイコロを $4$ つ持っており，それを $4$ つ全て同時に $1$ 回振ることを考えます．ここでの $10$ 面サイコロは，$1$ 以上 $10$ 以下の整数の目が同様に確からしい確率で $1$ つ出るサイコロとします．
$ $ また，サイコロの出目により，それぞれのサイコロに対して，成功数を以下のように定義します．
- 出目が $1$ のとき $2$
- 出目が $2$ 以上 $7$ 以下のとき $1$
- 出目が $8$ 以上 $9$ 以下のとき $0$
- 出目が $10$ のとき $-1$
$ $ この時，$4$ つのサイコロを振って，その成功数の合計が $0$ 以下になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
【追記】
難しすぎるという意見をいただいたので難易度を2→3に変更しました。
解答形式
非負整数を半角で解答してください．
問題文
正整数 $n$ について $d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すとき、
$$\sum^{100000}_{k=1}d(k)$$
の値を求めよ。
以下は体育会系数学部のある部員がこの問題に挑戦した記録である。
とりあえず1から順に約数の個数を数えていくぞ！
$d(1)=1$
$d(2)=2$
$d(3)=2$
$d(4)=3$
...
$d(100)=9$
これを $100000$ までやるのは大変だな...
もしかして主客転倒すれば
$$\sum^{100000}_{k=1} \left [\frac{100000}{k}\right ]$$
を計算すればいいのでは？やってみよう！
$\sum^{1}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =100000$
$\sum^{2}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =150000$
$\sum^{3}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =183333$
...
$\sum^{100}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =518692$
この調子でどんどん計算していくぞ！
...
$\sum^{1000}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =748058$
流石に疲れてきたな...
...
$\sum^{2024}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] = 818025$
意識が朦朧としてきた...
その後部員は救急車で病院に搬送された。
部員の途中計算は間違っていないようだ。部員の意思を継いでこの問題の答えを出してほしい。
解答形式
非負整数で解答してください。