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問題文
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると，
$$DG＝BF,\quad AD＝9,\quad AF＝4$$
が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$\angle A$ が鈍角の二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Omega$ とします．$\Omega$ の点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $P$ をとり，直線 $BP$ と点 $C$ における $\Omega$ の接線の交点を $Q$ とし，直線 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とすると以下が成立しました．
$$BC＝40,\quad BP＝14,\quad QR＝9$$
このとき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください
問題文
外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり，垂心を $H$ とします．直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば，
$$BP＝HP＝15,\quad AH＝9$$
が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，内心を $I$ とします．直線 $BI,AC$ の交点を $D$ とし，端点を除く線分 $BC$ 上に $4$ 点 $ABDE$ が共円となるように点 $E$ をとると，直線 $AI,DE$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わり，以下が成立しました．
$$AD＝2,\quad BE=3$$
このとき線分 $AC$ の長さは．正の整数 $a,b,c$ を用いて$\frac{b+\sqrt{c}}{a} $ と表されるので $a+b+c$ を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
円に内接する四角形 $ABCD$ があり，対角線の交点を $E$ とすると，
$$BE＝CD,\quad AB=16,\quad BD＝35,\quad CE＝25$$
が成立しました．このとき線分 $AC$ の長さを解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．$AD,EF$ の交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD＝5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり，辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ＝QR$ の直角三角形になるようにとると，五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった．このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．
-
任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．
-
互いに向かい合っているような矢印は存在しない．
-
$3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．
条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
三角形 $ABC$ において，$\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}$ の角の二等分線と辺 $BC, CA, AB$ との交点を $D, E, F$ ，直線 $CF$ と $DE$ の交点を $X$ ，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AD, AX$ の交点を $M, N$ とすると，以下が成り立ちました．
$$
MN=NC， BD=4， DC=6
$$このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．ただし，答えは 正整数 $a, b, c$ ( $a$ と$b$ は互いに素，$c$ は平方因子を持たない)を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．