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$$
\int_{0}^{log_{2}{1024}}\quad({\sqrt{{m}^{2}+4m+4})}dm\\について積分して下さい。
$$

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\int_{0}^{log_{2}{4}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{m}^{1048576}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}dm\\を積分して下さい。
$$

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\int_{0}^{log_{2}{8}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{m}^{1024}}}}}}}}}dmを\\積分して下さい。
$$
$$
(1)\frac{241}{2}(2)\frac{243}{3}(3)\frac{245}{5}(4)\frac{247}{6}
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$$
(\frac{1}{\sqrt{2}})^{mlog_{2}8^{log_{3}27}}=1024のｍの値を答えて下さい。\\このとき、解より小さい値で最も小さい整数を答えて下さい。
$$

問題文

$n$を自然数とする。$\sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。

解答形式

1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で記入してください。例えば$l=123,m=456$とする場合

123
456

としてください。

問題文

以下の条件１を満たす正整数列 $a_n\ (n \ge 1)$ を考える.

条件１：

$\cdot \ n\ge 1$ なる正整数 $n$ において, $a_{n+1}$ は $a_{n}$ 以下の正整数であって $a_{n}$ と互いに素なものの個数に等しい.

適切に $a_1$ を決めると以下の条件２が成立しました. このときの $a_1$ としてありうる値の個数を解答してください.

条件２：

$\cdot$ $a_1$ の任意の素因数は十進数表記で $1$ 桁である.

$\cdot$ 任意の $i,j \ge N$ なる整数 $(i,j)$ の組について, $a_i=a_j$ となる最小の $N$ が $N=13$ である.

解答形式

解答を非負整数で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると，以下が成立した：

$$\angle{DME}=90^{\circ}，AD=6，DB=2，AE=7，EC=3$$

このとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

非負整数で解答してください．

問題文

以下の条件を満たすような $15$ 個の白石と $15$ 個の黒石の並べ方は何通りありますか．

• 任意の白石について，その石の左側にある黒石の個数は $2$ の倍数である．
• 任意の黒石について，その石の左側にある白石の個数は $3$ の倍数である．

解答形式

非負整数で解答してください．

This sentence seems to stand for (α) means (β) every word of that dictionary all the time.

(α)(β)に当てはまる適語を選んで下さい。

(ex.)(α) A (β) B\(1)～(4)までの(α)(β)は省きます。

(1)in at
(2)by of
(3)at to
(4)as in

I have lost (α) temper since being born all the time.
(α） に当てはまる語を選んで下さい。

(1) her
(2) his
(3) my
(4) thier

(Q) If taking the eyes of human (α）this spray , the situation will be in danger.

（α）に当てはまる語を選んで下さい。

(1)off
(2)of
(3)into
(4)in

Q) (α) description , this picture are a very beautiful all the time.

（α)に入る語を選んで下さい。

(1) Behind
(2) Before
(3) Beyond
(4) Be