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問題

$1〜100$の数字が書かれた$100$面のさいころを$3$回投げて出た目を順に$x,y,z$とし、$a=x+y、b=y+z、c=z+x$と定めます。このとき、不等式$$\frac{1}{2} <\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} $$が成り立つ確率を求めてください。

解答形式

互いに素な非負整数$n,m$を用いて、$\frac{n}{m}$と表されるので、$n+m$の値を半角数字で入力してください。

双六でnマス目に止まる確率を求めよ。
ただし、n≦10、さいころは1個とする。

解答形式

初投稿で難易度設定とか解答の作り方とかよく分かってないので間違っていたらすみません。
・アルファベット&記号は全て半角(ただし、マイナスについては基本的に「ー」を使い、aのb-1乗のような場合では「-」を使います。)
・a分のbのc乗→(b/a)^c
・b/a+d/cのようなものは1項にまとめてください。
・場合分けがある場合は
n≦aのとき(解答)
b≦n≦cのとき(解答)
といったように改行して答えてください。

少し問題を変更いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

問題文

$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$

解答形式

$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。

$$
f(x)={i}^{n}\\について、n=10003のときのf'(x)の値は、偶数か奇数、\\
どちらですか。
$$
$$
(1)偶数(2)奇数
$$

問題文

aiueaiuの７字を並べるとき少なくとも1つの「ai」が「ue」よりも前にあるのは何通りか。

解答形式

例）半角英数字。

問題

$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。

また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$

を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。

ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。

解答形式

$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。
追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。
例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$

※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、

$$
{a}_1=1,{a}_n=3{{a}_{n+1}}+n+2\\について、次の問に答えて下さい。
$$
$$
(1){a}_n=-\frac{(ア)}{3}n∔\frac{(イ)}{8}
$$
$$
(2){a}_n>120となるとき、初めて負になるのは、（ウエ）である。
$$

問題

$n=1,2,3...$とします。
$$6n ^5+10n^3+15n^2+29n$$を必ず割り切ることの出来る正整数として最も大きいものの値を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

$$
次の因数分解の形はどれか。\\
{m}^{2}{n}^{2}+lm{n}^{2}+{l}^{2}{m}^{2}n+{l}^{2}m{n}^{2}
$$
$$
(1)l(lm+1)(ln+n)(m+mn)
(2)l(ln+m)(mn+1)(l+mn)
(3)l(ln+1)(m+n)(lmn+mn)
(4)l(lm+1)(m+n)(mn+lmn)
$$

$$
次の因数分解した形はどれか。\\
ab+bc+{a}^{2}{b}^{2}+a{b}^{2}c
$$
$$
(1){ab}^{2}(bc+1)
(2){bc}^{2}(ab+1)
(3)2ab(bc+1)
(4)(ab+1)(ab+bc)
$$

$$
|{i}^{2n+1}|
$$

$$
|{i}^{2n}|
$$