公開日時: 2024年6月24日22:15 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たす三角形 $ABC$ において、外心を $O$、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ の中点を $N$、$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします。また、円 $DMN$ と $AD$ の交点を $X$、$MN$ について $X$ と対称な点を $Y$ とします。このとき四角形 $BCOY$ の面積を求めてください。
半角数字で入力してください。
公開日時: 2024年6月17日0:53 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
正方形 $ABCD$ の辺 $BC$ 上に点 $E$ をとると,
$$BE=7,\ \ \ \ CE=5$$が成り立ちます.$E$ を中心とした半径 $7$ の円を $O$ とし,正方形 $ABCD$ の内部かつ円 $O$ の周上の点 $F$ をとると直線 $DF$ は円 $O$ の接線となりました.このとき,線分 $CF$ の長さは正整数 $a,b$ と素数 $c$ を用いて $\displaystyle{\frac{a+\sqrt{b}}{c}}$ と書けるので $a+b+c$ の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記
答えひらがなな訳ありませんでした、失礼しました
公開日時: 2024年6月15日15:41 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます. 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します.
しかしながら,魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて,勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます.
勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが,それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください.ただし,その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2024年6月13日20:59 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります.次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2024年6月9日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
三角形 $ABC$ について,$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$,円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$,円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし,$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき,$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました.$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
半角数字で解答してください.
公開日時: 2024年6月9日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
一辺の長さが $4$ の正三角形 $ABC$ について,$BC$ の中点を $M$ とし,線分 $BC$ 上に $BD=1$ なる点 $D$ をとります.$3$ 点 $ABD$ を通る円と$3$ 点 $ACM$ を通る円との交点を $X$ とするとき,$AX$ の長さの $2$ 乗を求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
公開日時: 2024年6月9日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
円 $\Omega$ があり,その周上に点 $P, Q$ があります.いま,$\Omega$ の弧 $PQ$ 上に $2$ 点 $A, B$ を,$P, A, B, Q$ がこの順にあるように取り,線分 $PQ$ 上に点 $C$ を取ると,三角形 $ABC$ の外接円は辺 $PQ$ に接しました.いま,$CQ$ の中点を $M$ とすると,$BM, AQ$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わったのでこの点を $R$ とします.いま,三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $PQR$ の外接円の $R$ でない交点を $S$ とするとき,
$$AS=4, AP=2\sqrt{21}, BC=7$$
が成立しました.このとき,$BQ$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.
半角数字で解答してください.