数学の問題一覧

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

問題文

gcd(a,b)=1 なる2以上の正整数a,bについて、
$$a^3b-ab^3$$
が平方数とならないことを示せ。

解答形式

解答の文章を入力してください(省略ok)

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，$A,B$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とし，線分 $DE$ 上に点 $P$ をとると，以下が成立しました．

$$AB＝3,\quad AC＝5,\quad \angle PAB=\angle PBC,\quad \angle PAC =\angle PCB $$
このとき線分 $AP$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください

問題文

非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください.
ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.

解答形式

例）整数を答えてください.

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AC$ 上に点 $D$ を，$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると，
$$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，内接円 $\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $BC,EF$ の交点を $P$ とし，$I$ から線分 $AP$ におろした垂線の足を $Q$，線分 $DQ$ と $\omega$ の交点のうち $D$ でないものを $R$ とすると，
$$RD=9,\quad RQ=6,\quad AF=10$$
が成立しました．このとき，線分 $PR$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$BD=3,\quad AC=10,\quad \angle ADO=90^\circ$$
が成立しました．このとき，線分 $AD$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円上に点 $D(\neq B)$ を，$AC\perp BD$ を満たすようにとると，
$$CD=3,\quad AD=7$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とします．直線 $AO,BC$ の交点を $D$，直線 $BO,AC$ の交点を $E$ とすると，
$$BD=6,\quad CD=3,\quad CE:EA=3:4$$
が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正三角形 $ABC$ があり，その内部に点 $D$ をとると，
$$AD=33,\quad BD=4,\quad \angle ADB=120^\circ$$
が成立しました．線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．